Теорема Банаха-Алаоглу

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Теорема Банаха-Алаоглу је важно тврђење у функционалној анализи, области математике. Теорема тврди да је затворена јединична лопта у дуалном простору нормираног векторског простора компактна у слабој* топологији. У уобичајеном доказу, јединична лопта у слабој* топологији се препознаје као затворен подскуп производа компактних скупова са топологијом производа. Према теореми Тихонова, производ је компактан, а стога и јединична лопта.

Стефан Банах је 1932. објавио доказ ове теореме за сепарабилне нормиране векторске просторе; први доказ у општем случају објавио је 1940. турски математичар Леонидас Алаоглу.

Теорему Банаха-Алаоуглу су на произвољне тополошке векторске просторе уопштили Бурбаки. Ово уопштење (које се понекад назива и теоремом Бурбаки-Алаоглу) гласи

Нека је X тополошки векторски простор и X* његов (непрекидни) дуални простор. Тада је полара Uo ма које околине U у X компактна у слабој* топологији σ(X*,X) на X*.
Доказ

Према дефиницији поларе,

.

Како је свака околина у X гутајућа (према непрекидности множења скаларима), за свако x ∈ X можемо наћи позитивно γ(x) тако да је . Посебно је за све , . Посматрајмо простор

са топологијом производа σ. Према теореми Тихонова, (P,σ) је компактан простор.

Слаба* топологија и топологија наслеђена од σ се поклапају на Uo. Преостаје да се докаже да је Uo ⊂ P ∩ X* затворен подскуп у топологији σ.

Нека је f функција у затворењу скупа Uo, и узмимо произвољне x, y ∈ X, скаларе a и b и ε > 0. Како је скуп

отворен у P по дефиницији топологије производа, можемо изабрати неко . Стога је према неједнакости троугла

                                                                                                 .

Како је ε > 0 произвољно, следи да је f линеарно пресликавање. Слично се доказује и да је f непрекидно: ако је наиме y − x ∈ εU, тада је

Напокон, f ∈ Uo јер је за све x ∈ U, дакле и |f(x)| ≤ 1.