Фаулхаберова формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Фаулхаберова формула представља суму:

Добила је име по немачком математичару Јохану Фаулхаберу. Формула се може представити преко Бернулијевих бројева као:

Примери[уреди]

Доказ[уреди]

Дефинишемо ли суму

Тада је:

Покушајмо сада да изразимо у облику полинома:

Уврстимо ли то у други израз у овом поглављу добијамо:

Користимо биномну теорему, па следи:

Двоструку суму на левој страни преуредимо узимајући у обзир jk:

и коначно се добија:

Десна страна је једнака нули за j>p, па је онда за k>p. Обе стране једначине множимо са j!, па уз коришћење Поххамеровога симбола вреди:

Супституцијом k=k'+t и преуређењем добија се:

односно:

За k'=0 је:

а то управо одговара Бернулијевим бројевима, тако да коначно добијамо:

Веза са Бернулијевим полиномима[уреди]

а ту су Бернулијеви полиноми.

Фаулхаберови полиноми[уреди]

Фаулхабер је уочио да у случају непарнога p сума

представља полином од

Тако је нпр:

Литература[уреди]