Matroid

С Википедије, слободне енциклопедије

Matroid je uređeni par formiran na sledeći način:

  1. Skup je konačan.
  2. Neka je neprazna familija podskupova skupa (koji se nazivaju nezavisnim podskupovima) takva da ako je i , tada je . Ako familija zadovoljava ovu osobinu tada je nazivamo nasleđenom (Hereditary). Primetimo da prazan skup obavezno pripada familiji .
  3. Ako je i , tada postoji element , takav da je . Govorimo da struktura zadovoljava osobinu zamene.

Termin „matroid“ je uveo Vitni Hasler. On je proučavao matrične matroide, čiji su elementi redovi zadate matrice. Skup redova je nezavisan, ako su oni linearno nezavisni u običnom smislu. Lako se pokazuje da ova struktura definiše matroid.

Kao suštinu drugog primera matroida razmotrimo matroid grafa , koji je definisan pomoću pojma neorijentisanog grafa , gde je:

  • skup ivica grafa ,
  • Ako je podskup skupa , tada je ako i samo ako je necikličan tj, skup ivica je nezavisan ako i samo ako podgraf obrazuje šumu.

Teorema 1[уреди | уреди извор]

Ako je neorijentisan konačan graf tada je matroid.

Dokaz[уреди | уреди извор]

Očigledno je da je konačan skup. Osim toga je nasledna familija jer je podskup šume takođe šuma. Drugim rečima, odstranjivanje ivica iz acikličnog skupa ivica grafa ne može dati cikličan skup.
Na taj način ostaje nam da pokažemo da struktura odgovara osobini zamene. Pretpostavimo da su i šume grafa i da je , tj. i su aciklični skupovi ivica, i da u skupu ima više ivica nego u skupu . Iz jedne od teorema koje su ranije razmatrane sledi da šuma u kojoj imamo ivica ima tačno drveta. Da to dokažemo pođimo od drveta od kojih svako ima samo jedan vrh i ne sadrži ni jednu ivicu. Tada svako rebro (ivica) koje se dodaje šumi, za jedan smanjuje broj drveta. Na taj način šuma ima drveta, a šuma ima drveta.
Kako šuma ima manje drveta od šume tada u šumi postoji ivica takva da se vrhovi i nalaze u dva različita drveta šume . Pošto ova ivica spaja vrhove dvaju različitih drveta šume tada je možemo dodati u šumu ne obrazujući krug na taj način. Na taj način struktura zadovoljava osobinu zamene, čime se završava dokaz da je matroid.

Za zadati matroid definišimo element kao proširenje skupa , ako je njega moguće dodati u bez narušavanja nezavisnosti tj. je proširenje skupa ako je . Kao primer razmotrimo matroid grafa . Ako je nezavisan skup ivica, tada je ivica proširenje skupa ako i samo ako ne pripada tom skupu i ako njeno dodavanje skupu ne dovodi do stvaranja ciklusa.

Ako je nezavisan podskup u matroidu , i ako u njemu nema proširenja (nisu moguća) tada kažemo da je maksimalan skup. Na taj način, skup je maksimalan ako se ne sadrži ni u jednom većem podskupu matroida . Dole data osobina je često vrlo korisna.

Teorema 2[уреди | уреди извор]

Svi maksimalni nezavisni podskupovi matroida imaju istu veličinu.

Dokaz:[уреди | уреди извор]

Teoremu dokazujemo metodom svođenja na protivrečnost. Pretpostavimo da je maksimalan nezavisan podskup matroida i da postoji drugi maksimalni nezavisni podskup matroida čija je veličina veća od veličine podskupa . Tada iz osobine zamene sledi da skup možemo proširiti do većeg nezavisnog skupa pomoću nekog elementa što je suprotno pretpostavci o maksimalnosti skupa .

Kao ilustraciju primene ove teoreme razmotrimo primenu na matroid grafa vezanog za neorijentisani povezani graf . Svaki maksimalni nezavisni podskup matroida mora da bude (da predstavlja) slobodno drvo koje ima tačno ivica koje spajaju vrhove grafa . Takvo drvo se zove osnovno drvo grafa .

Kažemo da je matroid težinski, ako je sa njim povezana težinska funkcija koja svakom elementu pridružuje strogo pozitivnu težinu . Težinska funkcija se uopštava na podskupove skupa putem sumiranja:

za proizvoljni podskup .

Na primer, ako sa označimo dužinu ivice matroida grafa , tada je ukupna dužina svih ivica koje pripadaju skupu .

Види још[уреди | уреди извор]

Литература[уреди | уреди извор]