Брахистохрона

У математици, криве брахистохроне (из античког грчког βράχιστος χρόνος, што значи "најкраће време"), су криве које представаљају кретање тачке почевши из стања мировања до жељене тачке за најкраће време, ако занемаримо трење и отпор ваздуха. Проблем брахистохроне је један од најстаријих проблема у варијациоској математици.

Значај стрме равни

Кретање низ стрму раван

Кроз историју се много познатих научника бавило изучавањем стрме равни. Она заправо представља једноставну али врло корисну физичку машину. У разним симулацијама стрма раван је важна зато што се њоме описује клизање, под утицајем гравитације, по разним кривама. Наиме, у рачунарству се криве углавном апроксимирају полигонским линијама, које заправо представљају низ стрмих равни.

Са слике „Кретање низ стрму раван“ можемо видети да на тело које се клиза по стрмој равни делује више од једне силе. Наиме, на тело делује гравитациона сила $G=mg$ која се разлаже као $G=F_{p}+F_{n}$, где је $F_{n}=mg\cos \theta$ компонента нормална на стрму раван, а $F_{p}=mg\sin \theta$ компонента паралелна стрмој равни. $\theta$ представљаа нагиб стрме равни и $\theta \in (0,{\frac {\pi }{2}})$. Битно је нагласити да је кретање тела равномерно убрзано.

Силе $f$ и $N$ ћемо занемарити јер ћемо посматрати кретање тела не узимајући у обзир силе трења подлоге и отпора средине.

Време потребно да тело пређе пут од тачке "А" до "Б"

Разматраћемо случај када је клизање тела по стрмој равни без трења. Посматраћемо тачке $A(0,4)$ , $B(1,1)$ , $C(4,0)$.
Овим примером ћемо показати да је телу потребно више времена да се спусти низ стрму раван $AB$, него истом телу да се спусти низ „изломљену стрму раван“ $ABC$. Узети да је гравитациона константа $g=10{\frac {m}{s^{2}}}$, а убрзање рачунамо по формули $a=g\cdot \sin a=const$. Приметимо да је нагиб $AC$ једнак $\phi \;={\frac {\pi }{4}}$, односно $\sin \phi \ ={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ .
Нагиб стрме равни$AB$ је одређен са $\sin \phi _{1}\ ={\frac {3}{\sqrt {10}}}$, а стрме равни $BC$ са $\sin \phi _{2}\ ={\frac {3}{\sqrt {10}}}$ .
Брзина у тачки $C$ биће једнака у оба случаја
$v_{c}={\sqrt {2g(h_{a}-h_{c})}}={\frac {2}{\sqrt {20}}}$.
Где су $h_{a}$ и $h_{c}$ висине тачака $A$ и $C$.

За стрму раван $AC$ убрзање је $a={\frac {5}{\sqrt {2}}}$, па је потребно време $t_{ac}={\frac {v_{c}}{a}}={\frac {2{\sqrt {10}}}{5}}s$.
Убрзање за стрму раван $AB$ је $a_{1}={\frac {30}{\sqrt {10}}}=3{\sqrt {10}}$, брзина у тачки $B$ је $v_{b}={\sqrt {2g(h_{a}-h_{b})}}=2{\sqrt {15}}$, па је потребно време $t_{ab}={\frac {\sqrt {6}}{3}}s$.
Коначно кретање низ стрму раван $BC$ је кретање са почетном брзином $v_{b}=2{\sqrt {15}}$ и убрзањем $a_{2}={\sqrt {10}}$. Коначна брзина $v_{c}$ у тачки $C$ се достиже за $t_{bc}$ секунди, где на основу формуле $v=v_{0}+at$, важи:
$2{\sqrt {20}}=v_{c}=v_{b}+a_{2}t_{bc}=2{\sqrt {15}}+{\sqrt {10}}t_{bc}$.

Одатле се добија време кретања $t_{bc}=(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})s$, од тачке $B$ до тачке $C$. На основу израчунатог можемо проверити да је
$t_{ac}$ ≈ $1.265>1.195$ ≈ $(t_{ab}+t_{bc})$.

У примеру је доказано да ће тело за краће време стићи од тачке A до тачке Ц уколко се спушта низ „изломљену стрму раван“, него да се спуштало низ стрму раван АЦ.

Бернулијев проблем

Брахистохрона

Јохан Бернули је 1696. поставио проблем брахистохроне. За произвољне задане тачке А и Б у вертикалној равни, потребно је одредити једначину криве по којој би се кретала материјална тачка под дејством гравитационе силе, тако да то растојање пређе за најкраће могуће време. Та крива је управо циклоида, а проблем је представљао зачетак варијациског рачуна.

Види још

• Епициклоида
• Хипоциклоида
• Трохоида

Литература

• Tijana Šukilović, Srđan Vukmirović (2015). Geometrija za informatičare. Matematički fakultet, Beograd. 
• Aleksandar Lipkovski (2007). Linearna algebra i analitička geometrija. Zavod za udžbenike, Beograd. 

Спољашње везе

• Braxistohrona-MathWorld