Вијетове формуле

За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак.

У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената

Формуле

Ако

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

је полином степена $n\geq 1$ са комплексним коефицијентима (па су бројеви $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ комплексни, и $a_{n}\neq 0$), по основној теореми аритметике $P(X)$ има $n$ (не обавезно различитих) комплексних корена $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Вијетове формуле кажу да

$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}$

$(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}$

$\cdots \,$

$x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.$

Другим речима, сума свих могућих производа $k$ нула полинома $P(X)$ је једнака $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},$

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

за свако $k=1,2,\dots ,n.$

Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену, све док тај полином степена $n$ има $n$ нула у том прстену.

Пример

За полином другог степена $P(X)=aX^{2}+bX+c$, Вијетове формуле гласе да су решења $x_{1}$ и $x_{2}$ квадратна једначина $P(X)=0$ задовољавају

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од P.

Доказ

Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

(што је тачно, јер $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена $X$.

Литература

• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8. 
• Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6.