Вијетова формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Напомена: Назив овог чланка могуће је помешати са Вијетове формуле.

У математици, Вијетова формула, која носи своје име по француском математичару Франсоа Вијету, је следећа репрезентација математичке константе π у облику бесконачног производа:

Израз са десне стране једнакости треба тумачити као граничну вредност

где је са почетним условом .

После сређивања могуће је добити формулу за π у облику

.

Доказ[уреди]

Коришћењем формуле за синус двоструког угла

најпре треба доказати једнакост

која важи за све позитивне целе бројеве n. Ако се узме да је x=y/2n и ако се обе стране једнакости поделе са cos(y/2) биће

Поновном употребом формуле за синус двоструког угла sin y=2sin(y/2)cos(y/2) добија се

Ако заменимо y са π добијамо једнакост

Остаје да се чиниоци са десне стране ове једнакости повежу са одговарајућим an. Ако се сада употреби формула за косинус полуугла,

добија се да задовољава рекурзивну везу са почетним условом . Зато је an=bn за све позитивне целе бројеве n.

Вијетова формула се затим добија кад се узме да n → ∞. Овде треба приметити да је

као последица чињенице да је (ово следи према Лопиталовом правилу).


Спољашње везе[уреди]