Вијетова формула

У математици, Вијетова формула, која носи своје име по француском математичару Франсоа Вијету, је следећа репрезентација математичке константе π у облику бесконачног производа:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

Израз са десне стране једнакости треба тумачити као граничну вредност

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}

где је $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ са почетним условом $a_{1}={\sqrt {2}}$ .

После сређивања могуће је добити формулу за π у облику

\lim _{\mathbf {n} \to \infty }2^{\mathbf {n} +1}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{\mathbf {n} }}}\;=\;\pi

.

Доказ[уреди | уреди извор]

Коришћењем формуле за синус двоструког угла

\,\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

најпре треба доказати једнакост

{{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin x}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)

која важи за све позитивне целе бројеве n. Ако се узме да је x=y/2ⁿ и ако се обе стране једнакости поделе са cos(y/2) биће

{{\sin y} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).

Поновном употребом формуле за синус двоструког угла sin y=2sin(y/2)cos(y/2) добија се

{{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).

Ако заменимо y са π добијамо једнакост

{2 \over {2^{n}\sin({\pi  \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi  \over {2^{i}}}\right)\ .

Остаје да се чиниоци са десне стране ове једнакости повежу са одговарајућим a_n. Ако се сада употреби формула за косинус полуугла,

2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},

добија се да $b_{i}=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)$ задовољава рекурзивну везу $\,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}$ са почетним условом $b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}$ . Зато је a_n=b_n за све позитивне целе бројеве n.