Сферна Беселова функција

Сферне Беселове функције $j_{n}$ и $y_{n}$ ($n_{n}$) представљају решења диференцијалне једначине:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.$

тј. радијалне једначине, која се добија сепарацијом варијабли приликом решавања Хелмхолцове једначине у сферним координатама. Функције $j_{n}$ називају се сферним Беселовим функцијама прве врсте, а $y_{n}$ (или $n_{n}$) називају се сферним Беселовим функцијама друге врсте или сферним Нојмановим фукцијама.

Сферне Беселове функције прве врсте $j_{n}$(x) за n = 0, 1, 2

Дефиниција

Два линеарно независна решења горње диференцијалне једначине називају се сферне Беселове функције $j_{n}$ и $y_{n}$ ($n_{n}$), а са обичним Беселовим функцијама J_n and Y_n повезане су изразом:

$j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),$

$y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{-n-1/2}(x).$

$y_{n}$ се често означава са $n_{n}$ или η_n, и понекад се називају сферне Нојманове фукције.

Сферне Беселове функције могу да се напишу и као:

$j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin x}{x}},$

$y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos x}{x}}.$

Приказ првих неколико сферних Беселових функција

Сферне Беселове функције друге врсте $n_{n}$(x), за n = 0, 1, 2

Неколико првих сферних Беселових функција прве врсте је:

$j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}$

$j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}$

$j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}$

$j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}},$

и за функције друге врсте:

$y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x}}$

$y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}$

$y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}$

$y_{3}\left(x\right)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.$

Релације ортогоналности

$\int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})j_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}\!$

где је α > −1, δ_m,n Кронекерова делта функција, а u_α,m је m-ти корен (нула) функције of j_α(x). Релације ортогоналности служе да би се одредили коефицијенти развоја функција у сферни Беселов ред.

Друга релација ортогоналности је:

$\int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)\!$

а ту је δ Диракова делта функција.

Асимптотски облик

$j_{l}(x)={\frac {1}{x}}sin\left(x-{\frac {l\pi }{2}}\right){\text{ za }}x\gg l$

$n_{l}(x)={\frac {-1}{x}}cos\left(x-{\frac {l\pi }{2}}\right){\text{ za }}x\gg l$

За случај када x тежи 0 добијају се следећи изрази:

$j_{l}(x)={\frac {x^{l}}{(2l+1)!!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2(2l+3)}}+..\right){\text{ za }}x\to 0$

$n_{l}(x)={\frac {(2l+1)!!}{(2l+1)}}{\frac {1}{x^{l+1}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{2(2l-1)}}+..\right){\text{ za }}x\to 0$

Формуле рекурзије

${\begin{aligned}{\frac {2l+1}{x}}j_{l}&=j_{l-1}(x)+j_{l+1}(x)\\j'_{l}(x)&={\frac {1}{2l+1}}\left(lj_{l-1}(x)-(l+1)j_{l+1}(x)\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xj_{l}(x))&=xj_{l-1}(x)-lj_{l}(x)\end{aligned}}$

Сличне рекурзије постоје и за сферну Нојманову функцију:

${\begin{aligned}{\frac {2l+1}{x}}n_{l}&=n_{l-1}(x)+n_{l+1}(x)\\n'_{l}(x)&={\frac {1}{2l+1}}\left(ln_{l-1}(x)-(l+1)n_{l+1}(x)\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xn_{l}(x))&=xn_{l-1}(x)-ln_{l}(x)\end{aligned}}$.

Генерирајуће функције

Генерирајуће функције сферних Беселових функција су:

${\frac {1}{z}}\cos {\sqrt {z^{2}-2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),$

${\frac {1}{z}}\sin {\sqrt {z^{2}+2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).$

Сферне Ханкелове функције h_n

Постоји и сферни аналог Ханкелових функција, које су комбинација сферних Беселових функција:

$h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)\,$

$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\,$

Појављују се у сферним проблемима распростирања таласа, као нпр. приликом мултиполнога развоја електромагнетскога таласа.

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.