Вијетова формула — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат

Инлајн

Верзија на датум 10. децембар 2023. у 01:29

У математици, Вијетова формула је следећи бесконачни производ уклопљених радикала који представљају двоструку реципрочну вредност математичке константе $π$ :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

Она се такође може представити овако:

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}

Формула је названа по Франсоа Вијету, који ју је објавио 1593.^[1] Као првој формули европске математике која представља бесконачни процес,^[2] може јој се признати прави смисао граничне вредности^[3] и означити почетком математичке анализе. Она има линеарну конвергенцију и може се користити за израчунавање $π$ ,^[4] али су се и раније и садашње методе показале прецизнијим. Такође се користила за рачунање понашања система опруга и маса^[5] и као пример појма статистичке независности.

Формула се може извести сабијањем производа или обима или површине уклопљених полигона који конвергирају у круг. Алтернативно, поново коришћење формуле половине угла из тригонометрије доводи до уопштене формуле коју је открио Леонард Ојлер и у којој је Вијетова формула специјални случај. Много сличних формула које садрже уклопљене корене или бесконачне производе сада су познате.

Значај

Франсоа Вијет (1540–1603) је био француски адвокат, државни саветник двојице француских краљева и математичар аматер. Он је ову формулу објавио 1593. године у шестој књизи свог дела Variorum de rebus mathematicis responsorum. У то време су методе за заокругљивање $π$ (у принципу) арбитрарне прецизности дуго биле познате. Вијетова сопствена метода може се тумачити као варијација Архимедове идеје за заокругљивање обима круга обимом комплексног многоугла^[1] коју је он користио да дође до приближне вредности^[6]

{\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.

Објављивањем своје методе у виду формуле Вијет је формулисао први случај бесконачног производа познатог у математици^[7]^[8] и први пример експлицитне формуле за тачну вредност $π$ .^[9]^[10] Као прво представљање броја у виду резултата бесконачног процеса уместо коначне рачунице,^[11] Ели Маор истиче да Вијетова формула означава почетак математичке анализе,^[2] а Џонатан Борвајн њену појаву назива „буђењем модерне математике“.^[12]

Користећи своју формулу Вијет је израчунао $π$ са прецизношћу од девет децимала.^[4] Међутим, то није била најтачнија приближна вредност $π$ у то време, јер је персијски математичар Џамшид Ал Каши 1424. године израчунао $π$ са прецизношћу од девет сексагезималних и 16 децималних јединица.^[12] Недуго након што је Вијет објавио своју формулу, Лудолф ван Цојлен је искористо методу сличну Вијетовој да израчуна 35 цифара $π$ , што је објављено тек након ван Цојленове смрти 1610.^[12]

Поред свог математичког и историјског значаја, Вијетова формула се може искористити за објашњење различитих брзина таласа различитих фреквенција у бескрајном ланцу опруга и маса и за појаву $π$ у ограничавајућем понашању тих брзина.^[5] Уз то, извођење ове формуле као производа интеграла укључених у Радемахеров систем, једнаког интегралима производа истих функција, пружа добар пример за појам статистичке независности.^[13]

Тумачење и конвергенција

Вијетова формула се може поново написати и схватити као гранични израз^[3]

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}

где је

{\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}

За сваки избор

n

, израз у граници је коначни производ, а како се

n

арбитрарно повећава ти коначни производи добијају вредности које се арбитрарно блиско приближавају вредности Вијетове формуле. Вијет је своје дело написао много пре него што су се појмови граница и детаљни докази конвергенције развили у математици; први доказ да та граница постоји није дат све до дела Фердинанда Рудија из 1891.^[1]^[14]

Стопа конвергенције границе одређује број чланова израза који су потребни за постизање тачности датог броја цифара. У Вијетовој формули, број чланова и цифара је пропорционалан: производ првих $n$ чланова у граници даје израз за $π$ који је једнак приближно 0.6 $n$ цифара.^[4]^[15] Ова стопа конвергенције се веома повољно пореди са Волисовим производом, каснијој формули бесконачног производа за $π$ . Иако је Вијет искористио своју формулу да израчуна $π$ са прецизношћу од само девет цифара, побољшана верзија његове формуле се користила за израчунавање стотине хиљада цифара $π$ .^[4]

Сродне формуле

Вијетова формула се може добити као специјалан случај sinc-функције која се више од једног века касније^[1] често приписивала Леонарду Ојлеру:^[16]

{\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots

Заменом

x = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2

у овој формули добија се:^[17]

{\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots

Онда, изражавањем сваког члана производа десно као функцију ранијих чланова, користећи формулу половине угла:

\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}

добија се Вијетова формула.^[9]

Такође је могуће из Вијетове формуле извести сличну формулу за $π$ која и даље садржи уклопљене квадратне корене броја два, али се множење користи само једном:^[18]

\pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ square roots}}},

што би се концизније могло написати као

{\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}}\\[5px]a_{1}&=0\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}

Много формула за $π$ и друге константе попут златног пресека сада су познате и оне су сличне Вијетовој по томе што користе или уклопљене радикале или бесконачне производе тригонометријских функција.^[8]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]

Извођење

Вијет је до своје формуле дошао поређењем површина правилних многоуглова са $2 n$ и $2 n + 1$ страницама уписаним у круг.^[1]^[2] Први члан производа, $\sqrt 2 / 2$ , јесте однос површина квадрата и осмоугла, други је однос површина осмоугла и шеснаестоугла итд. Стога се производ телескопира да би дао однос површина квадрата (почетног многоугла у низу) кругу (ограничавајућем примеру $2 n$ -угла). Алтернативно, услови у производу се могу тумачити као односи обима истог низа многоуглова, почевши од односа обима двоугла (полупречник круга убројен два пута) и квадрата, односа обима квадрата и осмоугла итд.^[25]

Другачије извођење је могуће на основу тригонометријских идентитета и Ојлерове формуле. Користећи формулу за дупли угао у више наврата

\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},

математичком индукцијом добијамо доказ да је за свако позитивно целобројно

n

\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).

Члан

2 n sin x / 2 n

у граници достиже $x$ док

n

иде у бесконачност, из чега следи Ојлерова формула. Вијетова формула се може добити из ове формуле заменом

x = π / 2

.^[9]^[13]

Референце

^ ^а ^б ^в ^г ^д Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (на језику: енглески) (2. изд.). Boulder: The Golem Press. стр. 94—95. ISBN 0-911762-12-4. MR 0449960.
^ ^а ^б ^в Maor, Eli (2013). Trigonometric Delights (на језику: енглески). Princeton: Princeton University Press. стр. 50, 140. ISBN 978-0-691-15820-4.
^ ^а ^б Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). „2.1. Viète's infinite product”. The Number $π$ (на језику: енглески). Превод: Wilson, Stephen S. Providence: American Mathematical Society. стр. 44—46. ISBN 0-8218-3246-8. MR 2036595.
^ ^а ^б ^в ^г Kreminski, Rick (2008). „ $π$ to Thousands of Digits from Vieta’s Formula”. Mathematics Magazine (на језику: енглески). 81 (3): 201—207. JSTOR 27643107. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549.
^ ^а ^б Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (децембар 2011). „Teaching wave propagation and the emergence of Viète’s formula”. Physics Education (на језику: енглески). 47 (1): 87—91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.
^ Beckmann 1971, стр. 67.
^ de Smith, Michael J. (2006). Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing (на језику: енглески). Leicester: Matador. стр. 165. ISBN 978-1-905237-81-4.
^ ^а ^б Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). „On Viète-like formulas”. Journal of Approximation Theory (на језику: енглески). 174: 90—112. MR 3090772. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006.
^ ^а ^б ^в Morrison, Kent E. (1995). „Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 102 (8): 716—724. JSTOR 2974641. MR 1357488. arXiv:math/0411380 . doi:10.2307/2974641.
^ Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (на језику: енглески). New York: Springer. стр. 15. ISBN 978-0-387-48806-6. doi:10.1007/978-0-387-48807-3.
^ Врло слични бесконачни тригонометријски редови за $π$ појавили су се раније у индијској математици, у делу Мадхаве из Сангамаграме (око 1340–1425), али дуго времена нису били познати у Европи. Види: Plofker, Kim (2009). „7.3.1. Mādhava on the circumference and arcs of the circle”. Mathematics in India (на језику: енглески). Princeton and Oxford: Princeton University Press. стр. 221—234. ISBN 978-0-691-12067-6.
^ ^а ^б ^в Borwein, Jonathan M. (2014). „The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond” (PDF). Ур.: Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, Through Baghdad (на језику: енглески). Berlin & Heidelberg: Springer. стр. 531—561. ISBN 978-3-642-36735-9. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24.
^ ^а ^б Kac, Mark (1959). „Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence”. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (на језику: енглески). New York: John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America. стр. 1—12. MR 0110114.
^ Rudio, Ferdinand (1891). „Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung” [О конвергенцији једног специјалног развоја производа што потиче од Вијете]. Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (на језику: немачки). 36: 139—140. JFM 23.0263.02.
^ Osler, Thomas J. (2007). „A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (на језику: енглески). 38 (1): 136—142. doi:10.1080/00207390601002799.
^ Euler, Leonhard (1738). „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi” [О различитим методама за изражавање квадратуре круга граничним бројевима]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на језику: латински). 9. Превод: Polaski, Thomas W. стр. 222—236. . Види последњу формулу. Иста формула се налази и у Euler, Leonhard (1783). „Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes” [Различита запажања о угловима који се развијају у геометријским прогресијама]. Opuscula Analytica (на језику: латински). 1. Превод: Bell, Jordan. стр. 345—352. arXiv:1009.1439 . Види формулу у нумерисаном параграфу 3.
^ Wilson, Robin J. (2018). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics (PDF) (на језику: енглески) (1. изд.). Oxford: Oxford University Press. стр. 57—58. ISBN 978-0-19-879492-9.
^ ^а ^б Servi, L. D. (2003). „Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 110 (4): 326—330. JSTOR 3647881. MR 1984573. doi:10.2307/3647881.
^ Nyblom, M. A. (2012). „Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals”. Rocky Mountain Journal of Mathematics (на језику: енглески). 42 (2): 751—758. MR 2915517. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-751.
^ Levin, Aaron (2006). „A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 113 (6): 510—520. JSTOR 27641976. MR 2231136. doi:10.2307/27641976.
^ Levin, Aaron (2005). „A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for $π$ ”. The Ramanujan Journal (на језику: енглески). 10 (3): 305—324. MR 2193382. doi:10.1007/s11139-005-4852-z.
^ Osler, Thomas J. (2007). „Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers”. Fibonacci Quarterly (на језику: енглески). 45 (3): 202—204. MR 2437033.
^ Stolarsky, Kenneth (1980). „Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products”. Pacific Journal of Mathematics (на језику: енглески). 89 (1): 209—227. ISSN 0030-8730. MR 0596932. doi:10.2140/pjm.1980.89.209.
^ Allen, Edward J. (1985). „Continued radicals”. The Mathematical Gazette (на језику: енглески). 69 (450): 261—263. JSTOR 3617569. doi:10.2307/3617569.
^ Rummler, Hansklaus (1993). „Squaring the Circle with Holes”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 100 (9): 858—860. JSTOR 2324662. MR 1247533. doi:10.2307/2324662.

Спољашње везе

Шеста књига Вијетовог Variorum de rebus mathematicis responsorum (1593). Формула се налази на другој половини 30. странице.

[:0-1] а ^б ^в ^г ^д Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (на језику: енглески) (2. изд.). Boulder: The Golem Press. стр. 94—95. ISBN 0-911762-12-4. MR 0449960.

[:1-2] а ^б ^в Maor, Eli (2013). Trigonometric Delights (на језику: енглески). Princeton: Princeton University Press. стр. 50, 140. ISBN 978-0-691-15820-4.

[:2-3] а ^б Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). „2.1. Viète's infinite product”. The Number $π$ (на језику: енглески). Превод: Wilson, Stephen S. Providence: American Mathematical Society. стр. 44—46. ISBN 0-8218-3246-8. MR 2036595.

[:3-4] а ^б ^в ^г Kreminski, Rick (2008). „ $π$ to Thousands of Digits from Vieta’s Formula”. Mathematics Magazine (на језику: енглески). 81 (3): 201—207. JSTOR 27643107. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549.

[:4-5] а ^б Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (децембар 2011). „Teaching wave propagation and the emergence of Viète’s formula”. Physics Education (на језику: енглески). 47 (1): 87—91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.

[FOOTNOTEBeckmann197167-6] Beckmann 1971, стр. 67.

[7] Smith, Michael J. (2006). Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing (на језику: енглески). Leicester: Matador. стр. 165. ISBN 978-1-905237-81-4.

[:5-8] а ^б Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). „On Viète-like formulas”. Journal of Approximation Theory (на језику: енглески). 174: 90—112. MR 3090772. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006.

[:6-9] а ^б ^в Morrison, Kent E. (1995). „Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 102 (8): 716—724. JSTOR 2974641. MR 1357488. arXiv:math/0411380 . doi:10.2307/2974641.

[10] Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (на језику: енглески). New York: Springer. стр. 15. ISBN 978-0-387-48806-6. doi:10.1007/978-0-387-48807-3.

[11] Врло слични бесконачни тригонометријски редови за $π$ појавили су се раније у индијској математици, у делу Мадхаве из Сангамаграме (око 1340–1425), али дуго времена нису били познати у Европи. Види: Plofker, Kim (2009). „7.3.1. Mādhava on the circumference and arcs of the circle”. Mathematics in India (на језику: енглески). Princeton and Oxford: Princeton University Press. стр. 221—234. ISBN 978-0-691-12067-6.

[:7-12] а ^б ^в Borwein, Jonathan M. (2014). „The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond” (PDF). Ур.: Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, Through Baghdad (на језику: енглески). Berlin & Heidelberg: Springer. стр. 531—561. ISBN 978-3-642-36735-9. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24.

[:9-13] а ^б Kac, Mark (1959). „Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence”. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (на језику: енглески). New York: John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America. стр. 1—12. MR 0110114.

[14] Rudio, Ferdinand (1891). „Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung” [О конвергенцији једног специјалног развоја производа што потиче од Вијете]. Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (на језику: немачки). 36: 139—140. JFM 23.0263.02.

[15] Osler, Thomas J. (2007). „A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (на језику: енглески). 38 (1): 136—142. doi:10.1080/00207390601002799.

[16] Euler, Leonhard (1738). „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi” [О различитим методама за изражавање квадратуре круга граничним бројевима]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на језику: латински). 9. Превод: Polaski, Thomas W. стр. 222—236. . Види последњу формулу. Иста формула се налази и у Euler, Leonhard (1783). „Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes” [Различита запажања о угловима који се развијају у геометријским прогресијама]. Opuscula Analytica (на језику: латински). 1. Превод: Bell, Jordan. стр. 345—352. arXiv:1009.1439 . Види формулу у нумерисаном параграфу 3.

[17] Wilson, Robin J. (2018). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics (PDF) (на језику: енглески) (1. изд.). Oxford: Oxford University Press. стр. 57—58. ISBN 978-0-19-879492-9.

[:8-18] а ^б Servi, L. D. (2003). „Nested Square Roots of 2”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 110 (4): 326—330. JSTOR 3647881. MR 1984573. doi:10.2307/3647881.

[19] Nyblom, M. A. (2012). „Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals”. Rocky Mountain Journal of Mathematics (на језику: енглески). 42 (2): 751—758. MR 2915517. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-751.

[20] Levin, Aaron (2006). „A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 113 (6): 510—520. JSTOR 27641976. MR 2231136. doi:10.2307/27641976.

[21] Levin, Aaron (2005). „A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for $π$ ”. The Ramanujan Journal (на језику: енглески). 10 (3): 305—324. MR 2193382. doi:10.1007/s11139-005-4852-z.

[22] Osler, Thomas J. (2007). „Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers”. Fibonacci Quarterly (на језику: енглески). 45 (3): 202—204. MR 2437033.

[23] Stolarsky, Kenneth (1980). „Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products”. Pacific Journal of Mathematics (на језику: енглески). 89 (1): 209—227. ISSN 0030-8730. MR 0596932. doi:10.2140/pjm.1980.89.209.

[24] Allen, Edward J. (1985). „Continued radicals”. The Mathematical Gazette (на језику: енглески). 69 (450): 261—263. JSTOR 3617569. doi:10.2307/3617569.

[25] Rummler, Hansklaus (1993). „Squaring the Circle with Holes”. The American Mathematical Monthly (на језику: енглески). 100 (9): 858—860. JSTOR 2324662. MR 1247533. doi:10.2307/2324662.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
 {{рут}}
 {{Забуна|Вијетове формуле}}
+[[Датотека:Viète's formula.png|мини|402x402п|Вијетова формула, одштампана у шестој књизи Вијетовог ''Variorum de rebus mathematicis responsorum'' (1593) ]]
 У математици, '''Вијетова формула''' је следећи бесконачни производ уклопљених радикала који представљају двоструку реципрочну вредност математичке константе [[Пи|''{{Pi}}'']]:
 <math display="block">\frac2\pi = \frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2 \cdots</math>
 Она се такође може представити овако:
-<math display="block">\frac2\pi = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}</math>Формула је названа по Франсоа Вијету, који ју је објавио 1593. Као првој формули европске математике која представља бесконачни процес, може јој се дати строги смисао лимеса и означити почетком [[Математичка анализа|математичке анализе]]. Она има линеарну конвергенцију и може се користити за израчунавање ''{{Pi}}'', али су се и раније и садашње методе показале прецизнијим. Такође се користила за рачунање понашања система опруга и маса и као пример појма статистичке независности.
+<math display="block">\frac2\pi = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}</math>Формула је названа по Франсоа Вијету, који ју је објавио 1593.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://archive.org/details/historyofpipi0000beck/mode/2up|title=A History of {{Pi}}|last=Beckmann|first=Petr|publisher=The Golem Press|year=1971|isbn=0-911762-12-4|edition=2.|location=Boulder|pages=94–95|language=ен|mr=0449960|ref=harv}}</ref> Као првој формули европске математике која представља бесконачни процес,<ref name=":1">{{Cite book|url=https://books.google.rs/books?id=iShKAIKrCSoC|title=Trigonometric Delights|last=Maor|first=Eli|publisher=Princeton University Press|year=2013|isbn=978-0-691-15820-4|location=Princeton|pages=50, 140|language=ен|ref=harv}}</ref> може јој се признати прави смисао [[Гранична вредност|граничне вредности]]<ref name=":2">{{Cite book|title=The Number {{Pi}}|last=Eymard|first=Pierre|last2=Lafon|first2=Jean-Pierre|publisher=American Mathematical Society|year=2004|isbn=0-8218-3246-8|location=Providence|pages=44–46|language=ен|translator-last=Wilson|translator-first=Stephen S.|chapter=2.1. Viète's infinite product|mr=2036595|ref=harv|chapter-url=https://books.google.rs/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA44&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> и означити почетком [[Математичка анализа|математичке анализе]]. Она има линеарну конвергенцију и може се користити за израчунавање ''{{Pi}}'',<ref name=":3">{{Cite journal|last=Kreminski|first=Rick|date=2008|title=<i>{{Pi}}</i> to Thousands of Digits from Vieta’s Formula|url=|journal=Mathematics Magazine|language=en|volume=81|issue=3|pages=201–207|doi=10.1080/0025570X.2008.11953549|jstor=27643107|ref=harv}}</ref> али су се и раније и садашње методе показале прецизнијим. Такође се користила за рачунање понашања система опруга и маса<ref name=":4">{{Cite journal|last=Cullerne|first=J. P.|last2=Goekjian|first2=M. C. Dunn|date=децембар 2011|title=Teaching wave propagation and the emergence of Viète’s formula|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0031-9120/47/1/87|journal=Physics Education|language=en|volume=47|issue=1|pages=87–91|doi=10.1088/0031-9120/47/1/87|ref=harv}}</ref> и као пример појма статистичке независности.
 Формула се може извести сабијањем производа или обима или површине уклопљених полигона који конвергирају у круг. Алтернативно, поново коришћење формуле половине угла из тригонометрије доводи до уопштене формуле коју је открио [[Леонард Ојлер]] и у којој је Вијетова формула специјални случај. Много сличних формула које садрже уклопљене корене или бесконачне производе сада су познате.
 == Значај ==
-Франсоа Вијет (1540–1603) је био француски адвокат, [[Државни савет|државни саветник]] двојице француских краљева и математичар аматер. Он је ову формулу објавио 1593. године у шестој књизи свог дела ''Variorum de rebus mathematicis responsorum''. У то време су методе за заокругљивање ''{{Pi}}'' (у принципу) арбитрарне прецизности дуго биле познате. Вијетова сопствена метода може се тумачити као варијација Архимедове идеје за заокругљивање обима круга обимом комплексног многоугла коју је он користио да дође до приближне вредности:
+Франсоа Вијет (1540–1603) је био француски адвокат, [[Државни савет|државни саветник]] двојице француских краљева и математичар аматер. Он је ову формулу објавио 1593. године у шестој књизи свог дела ''Variorum de rebus mathematicis responsorum''. У то време су методе за заокругљивање ''{{Pi}}'' (у принципу) арбитрарне прецизности дуго биле познате. Вијетова сопствена метода може се тумачити као варијација Архимедове идеје за заокругљивање обима круга обимом комплексног многоугла<ref name=":0" /> коју је он користио да дође до приближне вредности{{Sfn|Beckmann|1971|p=67}}
-<math display="block">\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.</math>Објављивањем своје методе у виду формуле Вијет је формулисао први случај бесконачног производа познатог у математици и први пример експлицитне формуле за тачну вредност ''{{Pi}}''. Као прво представљање броја у виду резултата бесконачног процеса уместо коначне рачунице, Ели Маор истиче да Вијетова формула означава почетак математичке анализе, а Џонатан Борвајн њену појаву назива „буђењем модерне математике“.
+<math display="block">\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.</math>Објављивањем своје методе у виду формуле Вијет је формулисао први случај бесконачног производа познатог у математици<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=HlOVuklrQPAC&pg=PA165&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing|last=de Smith|first=Michael J.|publisher=Matador|year=2006|isbn=978-1-905237-81-4|location=Leicester|pages=165|language=ен|ref=harv}}</ref><ref name=":5">{{Cite journal|last=Moreno|first=Samuel G.|last2=García-Caballero|first2=Esther M.|date=2013|title=On Viète-like formulas|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0021904513001159|journal=Journal of Approximation Theory|language=en|volume=174|pages=90–112|doi=10.1016/j.jat.2013.06.006|mr=3090772|ref=harv}}</ref> и први пример експлицитне формуле за тачну вредност ''{{Pi}}''.<ref name=":6">{{Cite journal|last=Morrison|first=Kent E.|date=1995|title=Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=102|issue=8|pages=716–724|arxiv=math/0411380|doi=10.2307/2974641|jstor=2974641|mr=1357488|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=UrSnNeJW10YC&pg=PA15&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator|last=Oldham|first=Keith B.|last2=Myland|first2=Jan C.|last3=Spanier|first3=Jerome|publisher=Springer|year=2009|isbn=978-0-387-48806-6|location=New York|pages=15|language=en|doi=10.1007/978-0-387-48807-3|ref=harv}}</ref> Као прво представљање броја у виду резултата бесконачног процеса уместо коначне рачунице,<ref>Врло слични бесконачни тригонометријски [[Ред (математика)|редови]] за ''{{Pi}}'' појавили су се раније у [[Индијска математика|индијској математици]], у делу [[Мадхава из Сангамаграме|Мадхаве из Сангамаграме]] (око 1340–1425), али дуго времена нису били познати у Европи. Види: {{Cite book|title=Mathematics in India|last=Plofker|first=Kim|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=978-0-691-12067-6|location=Princeton and Oxford|pages=221–234|language=ен|chapter=7.3.1. Mādhava on the circumference and arcs of the circle|chapter-url=https://books.google.rs/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA221&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> Ели Маор истиче да Вијетова формула означава почетак математичке анализе,<ref name=":1" /> а Џонатан Борвајн њену појаву назива „буђењем модерне математике“.<ref name=":7">{{Cite book|title=From Alexandria, Through Baghdad|last=Borwein|first=Jonathan M.|publisher=Springer|year=2014|isbn=978-3-642-36735-9|editor-last=Sidoli|editor-first=Nathan|location=Berlin & Heidelberg|pages=531–561|language=ен|chapter=The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|ref=harv|editor-last2=Van Brummelen|editor-first2=Glen|chapter-url=https://web.archive.org/web/20110307162612/https://www.carma.newcastle.edu.au/jon/pi-2010.pdf}}</ref>
-Користећи своју формулу Вијет је израчунао ''{{Pi}}'' са прецизношћу од девет децимала. Међутим, то није била најтачнија приближна вредност ''{{Pi}}'' у то време, јер је персијски математичар Џамшид Ал Каши 1424. године израчунао ''{{Pi}}'' са прецизношћу од девет сексагезималних и 16 децималних јединица. Недуго након што је Вијет објавио своју формулу, Лудолф ван Цојлен је искористо методу сличну Вијетовој да израчуна 35 цифара ''{{Pi}}'', што је објављено тек након ван Цојленове смрти 1610.
+Користећи своју формулу Вијет је израчунао ''{{Pi}}'' са прецизношћу од девет децимала.<ref name=":3" /> Међутим, то није била најтачнија приближна вредност ''{{Pi}}'' у то време, јер је персијски математичар Џамшид Ал Каши 1424. године израчунао ''{{Pi}}'' са прецизношћу од девет сексагезималних и 16 децималних јединица.<ref name=":7" /> Недуго након што је Вијет објавио своју формулу, Лудолф ван Цојлен је искористо методу сличну Вијетовој да израчуна 35 цифара ''{{Pi}}'', што је објављено тек након ван Цојленове смрти 1610.<ref name=":7" />
-Поред свог математичког и историјског значаја, Вијетова формула се може искористити за објашњење различитих брзина таласа различитих фреквенција у бескрајном ланцу опруга и маса и за појаву ''{{Pi}}'' у ограничавајућем понашању тих брзина. Уз то, извођење ове формуле као производа интеграла укључених у Радемахеров систем, једнаког интегралима производа истих функција, пружа мотивишући пример за појам статистичке независности.
+Поред свог математичког и историјског значаја, Вијетова формула се може искористити за објашњење различитих брзина таласа различитих фреквенција у бескрајном ланцу опруга и маса и за појаву ''{{Pi}}'' у ограничавајућем понашању тих брзина.<ref name=":4" /> Уз то, извођење ове формуле као производа интеграла укључених у Радемахеров систем, једнаког интегралима производа истих функција, пружа добар пример за појам статистичке независности.<ref name=":9">{{Cite book|title=Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory|last=Kac|first=Mark|publisher=John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America|year=1959|location=New York|pages=1–12|language=ен|chapter=Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence|mr=0110114|ref=harv}}</ref>
 == Тумачење и конвергенција ==
-Вијетова формула се може поново написати и схватити као гранични израз:
+Вијетова формула се може поново написати и схватити као гранични израз<ref name=":2" />
 <math display="block">\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi</math>
 где је
-<math display="block">\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}</math>За сваки избор <math>n</math>, израз у граници је коначни производ, а како се <math>n</math> арбитрарно повећава ти коначни производи добијају вредности које се арбитрарно блиско приближавају вредности Вијетове формуле. Вијет је своје дело написао много пре него што су се појмови граница и детаљни докази конвергенције развили у математици; први доказ да та граница постоји није дат све до дела Фердинанда Рудија из 1891.
+<math display="block">\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}</math>За сваки избор <math>n</math>, израз у граници је коначни производ, а како се <math>n</math> арбитрарно повећава ти коначни производи добијају вредности које се арбитрарно блиско приближавају вредности Вијетове формуле. Вијет је своје дело написао много пре него што су се појмови граница и детаљни докази конвергенције развили у математици; први доказ да та граница постоји није дат све до дела Фердинанда Рудија из 1891.<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last=Rudio|first=Ferdinand|date=1891|title=Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung|trans-title=О конвергенцији једног специјалног развоја производа што потиче од Вијете|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN599415665_0036|journal=Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik|language=de|volume=36|pages=139–140|jfm=23.0263.02|ref=harv}}</ref>
+[[File:comparison_pi_infinite_series.svg|thumb|upright=1.5|Поређење конвергенције Вијетове формуле ({{red|'''×'''}}) и неколико историјских бесконачних редова за {{pi}}. {{math|''S<sub>n</sub>''}} је приближна вредност пошто је узет члан {{mvar|n}}. Сваки наредни спорендни случај увећава осенчану област хоризонтално 10 пута.]]
-Стопа конвергенције границе одређује број чланова израза који су потребни за постизање тачности датог броја цифара. У Вијетовој формули, број чланова и цифара је пропорционалан: производ првих <math>n</math> чланова у граници даје израз за ''{{Pi}}'' који је једнак приближно 0.6<math>n</math> цифара. Ова стопа конвергенције се веома повољно пореди са Волисовим производом, каснијој формули бесконачног производа за ''{{Pi}}''. Иако је Вијет искористио своју формулу да израчуна ''{{Pi}}'' са прецизношћу од само девет цифара, побољшана верзија његове формуле се користила за израчунавање стотине хиљада цифара ''{{Pi}}''.
+Стопа конвергенције границе одређује број чланова израза који су потребни за постизање тачности датог броја цифара. У Вијетовој формули, број чланова и цифара је пропорционалан: производ првих <math>n</math> чланова у граници даје израз за ''{{Pi}}'' који је једнак приближно 0.6<math>n</math> цифара.<ref name=":3" /><ref>{{Cite journal|last=Osler|first=Thomas J.|date=2007|title=A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π|url=|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|language=en|volume=38|issue=1|pages=136–142|doi=10.1080/00207390601002799|ref=harv}}</ref> Ова стопа конвергенције се веома повољно пореди са Волисовим производом, каснијој формули бесконачног производа за ''{{Pi}}''. Иако је Вијет искористио своју формулу да израчуна ''{{Pi}}'' са прецизношћу од само девет цифара, побољшана верзија његове формуле се користила за израчунавање стотине хиљада цифара ''{{Pi}}''.<ref name=":3" />
 == Сродне формуле ==
-Вијетова формула се може добити као специјалан случај sinc-функције која се више од једног века касније често приписивала Леонарду Ојлеру:<math display="block">\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots</math>Заменом {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}} у овој формули добија се:<math display="block">\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots</math>Онда, изражавањем сваког члана производа десно као функцију ранијих чланова, користећи формулу половине угла:<math display="block">\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}</math>добија се Вијетова формула.
+Вијетова формула се може добити као специјалан случај sinc-функције која се више од једног века касније<ref name=":0" /> често приписивала Леонарду Ојлеру:<ref>{{Cite book|title=Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|last=Euler|first=Leonhard|year=1738|volume=9|pages=222–236|language=la|translator-last=Polaski|translator-first=Thomas W.|chapter=De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi|trans-chapter=О различитим методама за изражавање квадратуре круга граничним бројевима|ref=harv|chapter-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/74/}} . Види последњу формулу. Иста формула се налази и у {{Cite book|title=Opuscula Analytica|last=Euler|first=Leonhard|year=1783|volume=1|pages=345–352|language=la|translator-last=Bell|translator-first=Jordan|chapter=Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes|trans-chapter=Различита запажања о угловима који се развијају у геометријским прогресијама|arxiv=1009.1439|ref=harv|chapter-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/561/}} Види формулу у нумерисаном параграфу 3.</ref><math display="block">\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots</math>Заменом {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}} у овој формули добија се:<ref>{{Cite book|url=https://eponym.ru/BookImages/1320/DXKW3V83K1BRAGBYA0501DZA5.pdf|title=Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics|last=Wilson|first=Robin J.|publisher=Oxford University Press|year=2018|isbn=978-0-19-879492-9|edition=1.|location=Oxford|pages=57–58|language=ен|ref=harv}}</ref><math display="block">\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots</math>Онда, изражавањем сваког члана производа десно као функцију ранијих чланова, користећи формулу половине угла:<math display="block">\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}</math>добија се Вијетова формула.<ref name=":6" />
-Такође је могуће из Вијетове формуле извести сличну формулу за ''{{Pi}}'' која и даље садржи уклопљене квадратне корене броја два, али се множење користи само једном:<math display="block">\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{k\text{ square roots}},</math>што би се концизније могло написати као<math display="block">\begin{align} \pi &= \lim_{k\to\infty}2^k\sqrt{2-a_k} \\[5px] a_1&=0 \\ a_k&=\sqrt{2+a_{k-1}}. \end{align}</math>Много формула за ''{{Pi}}'' и друге константе попут златног пресека сада су познате и оне су сличне Вијетовој по томе што користе или уклопљене радикале или бесконачне производе тригонометријских функција.
+Такође је могуће из Вијетове формуле извести сличну формулу за ''{{Pi}}'' која и даље садржи уклопљене квадратне корене броја два, али се множење користи само једном:<ref name=":8">{{Cite journal|last=Servi|first=L. D.|date=2003|title=Nested Square Roots of 2|url=https://www.jstor.org/stable/3647881?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=110|issue=4|pages=326–330|doi=10.2307/3647881|jstor=3647881|mr=1984573|ref=harv}}</ref><math display="block">\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{k\text{ square roots}},</math>што би се концизније могло написати као<math display="block">\begin{align} \pi &= \lim_{k\to\infty}2^k\sqrt{2-a_k} \\[5px] a_1&=0 \\ a_k&=\sqrt{2+a_{k-1}}. \end{align}</math>Много формула за ''{{Pi}}'' и друге константе попут златног пресека сада су познате и оне су сличне Вијетовој по томе што користе или уклопљене радикале или бесконачне производе тригонометријских функција.<ref name=":5" /><ref name=":8" /><ref>{{Cite journal|last=Nyblom|first=M. A.|date=2012|title=Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals|url=https://projecteuclid.org/journals/rocky-mountain-journal-of-mathematics/volume-42/issue-2/Some-closed-form-evaluations-of-infinite-products-involving-nested-radicals/10.1216/RMJ-2012-42-2-751.full|journal=Rocky Mountain Journal of Mathematics|language=en|volume=42|issue=2|pages=751–758|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-751|mr=2915517|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Levin|first=Aaron|date=2006|title=A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant|url=|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=113|issue=6|pages=510–520|doi=10.2307/27641976|jstor=27641976|mr=2231136|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Levin|first=Aaron|date=2005|title=A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for <i>{{Pi}}</i>|url=|journal=The Ramanujan Journal|language=en|volume=10|issue=3|pages=305–324|doi=10.1007/s11139-005-4852-z|mr=2193382|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Osler|first=Thomas J.|date=2007|title=Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers|journal=Fibonacci Quarterly|language=en|volume=45|issue=3|pages=202–204|mr=2437033|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Stolarsky|first=Kenneth|date=1980|title=Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products|url=https://projecteuclid.org/journals/pacific-journal-of-mathematics/volume-89/issue-1/Mapping-properties-growth-and-uniqueness-of-Vieta-infinite-cosine-products/pjm/1102779384.full|journal=Pacific Journal of Mathematics|language=en|volume=89|issue=1|pages=209–227|doi=10.2140/pjm.1980.89.209|issn=0030-8730|mr=0596932|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Allen|first=Edward J.|date=1985|title=Continued radicals|url=|journal=The Mathematical Gazette|language=en|volume=69|issue=450|pages=261–263|doi=10.2307/3617569|jstor=3617569|ref=harv}}</ref>
 == Извођење ==
+[[File:Viète nested polygons.svg|thumb|Низ [[Правилни многоугао|правилних многоуглова]], чији је број страница једнак [[Степен двојке|степенима двојке]], уписан је у круг. Односи површина или обима узастопних многоуглова у низу чине чланове Вијетове формуле.]]
-Вијет је до своје формуле дошао упоређујући површине правилних многоуглова уписаних у круг са {{math|2<sup>''n''</sup>}} и {{math|2<sup>''n'' + 1</sup>}} страницама. Први злан производа, {{math|{{sfrac|{{sqrt|2}}|2}}}}, јесте однос површина квадрата и осмоугла, други је однос површина осмоугла и шеснаестоугла итд. Стога се производ телескопира да би дао однос површина квадрата (почетног многоугла у низу) кругу (ограничавајућем примеру {{math|2<sup>''n''</sup>}}-угла). Алтернативно, услови у производу се могу тумачити као односи обима истог низа многоуглова, почевши од односа обима двоугла (полупречник круга убројен два пута) и квадрата, односа обима квадрата и осмоугла итд.
+Вијет је до своје формуле дошао поређењем површина правилних многоуглова са {{math|2<sup>''n''</sup>}} и {{math|2<sup>''n'' + 1</sup>}} страницама уписаним у круг.<ref name=":0" /><ref name=":1" /> Први члан производа, {{math|{{sfrac|{{sqrt|2}}|2}}}}, јесте однос површина квадрата и осмоугла, други је однос површина осмоугла и шеснаестоугла итд. Стога се производ телескопира да би дао однос површина квадрата (почетног многоугла у низу) кругу (ограничавајућем примеру {{math|2<sup>''n''</sup>}}-угла). Алтернативно, услови у производу се могу тумачити као односи обима истог низа многоуглова, почевши од односа обима двоугла (полупречник круга убројен два пута) и квадрата, односа обима квадрата и осмоугла итд.<ref>{{Cite journal|last=Rummler|first=Hansklaus|date=1993|title=Squaring the Circle with Holes|url=https://www.jstor.org/stable/2324662?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=100|issue=9|pages=858–860|doi=10.2307/2324662|jstor=2324662|mr=1247533|ref=harv}}</ref>
 Другачије извођење је могуће на основу тригонометријских идентитета и Ојлерове формуле. Користећи формулу за дупли угао у више наврата
@@ Ред 37: / Ред 43: @@
 <math display="block">\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},</math>математичком индукцијом добијамо доказ да је за свако позитивно целобројно <math>n</math>
-<math display="block">\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).</math>Члан {{math|2<sup>''n''</sup> sin {{sfrac|''x''|2<sup>''n''</sup>}}}} у граници достиже ''{{mvar|x}}'' док <math>n</math> иде у бесконачност, из чега следи Ојлерова формула. Вијетова формула се може добити из ове формуле заменом {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}}.{{clear}}
+<math display="block">\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).</math>Члан {{math|2<sup>''n''</sup> sin {{sfrac|''x''|2<sup>''n''</sup>}}}} у граници достиже ''{{mvar|x}}'' док <math>n</math> иде у бесконачност, из чега следи Ојлерова формула. Вијетова формула се може добити из ове формуле заменом {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}}.<ref name=":6" /><ref name=":9" />{{clear}}
+== Референце ==
+{{reflist}}
 == Спољашње везе ==
 *Шеста књига Вијетовог [https://books.google.com/books?id=7_BCAAAAcAAJ ''Variorum de rebus mathematicis responsorum''] (1593). Формула се налази на другој половини 30. странице.
+{{портал бар|Математика}}
+{{DEFAULTSORT:Вијетова формула}}
 [[Категорија:Математичка анализа]]
 [[Категорија:Пи]]