Вијетове формуле

Из Википедије, слободне енциклопедије
За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак.

У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената

Формуле[уреди]

Ако

P(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0

је полином степена n\ge 1 са комплексним коефицијентима (па су бројеви a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n комплексни, и a_n\ne 0), по основној теореми аритметике P(X) има n (не обавезно различитих) комплексних корена x_1, x_2, \dots, x_n. Вијетове формуле кажу да

x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}
\cdots\,
x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}.

Другим речима, сума свих могућих производа k нула полинома P(X) је једнака (-1)^ka_{n-k}/a_n,

\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}

за свако k=1, 2, \dots, n.

Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену, све док тај полином степена n има n нула у том прстену.

Пример[уреди]

За полином другог степена P(X)=aX^2 + bX + c, Вијетове формуле гласе да су решења x_1 и x_2 квадратна једначина P(X)=0 задовољавају

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.

Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од P.

Доказ[уреди]

Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости

a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)

(што је тачно, јер x_1, x_2, \dots, x_n су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена X.

Литература[уреди]

  • Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 0821834134. 
  • Đukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 0387242996.