Решавање једначина

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Квадратна формула је симболичко решење квадратне једначине

аx 2 +бx+ц=0

.^[3] Употребом познатих вредности коефицијената

а,б,ц

и израчунавањем налазе се нумеричка решења једначине.^[4]^[5]^[6]^[7]

У математици, решавање једначина је налажење њихових решења, која су вредности (бројеви, функције, скупови, итд.) које задовољавају услове наведене једначином,^[8]^[9]^[10] која се генерално састоји од два израза повезана знаком једнакости. Када се тражи решење, једна или више слободних променљивих се означавају као непознате. Решење је додељивање израза непознатим променљивама, уз одржавање тачности једначина. Другим речима, решење је израз или колекција израза (један за сваку непознату) тако да, када се супституишу непознате, једначина постане идентитет. Решење једначине често се назива и корен једначине, посебно, мада не само, за алгебарске или нумеричке једначине.

Проблем решавања једначине може бити нумерички или симболички. Решавање једначине нумерички значи да се као решења прихватају само бројеви који су експлицитно представљени као нумерали (а не као изрази који садрже променљиве). Решавање једначине симболички значи да се изрази који могу садржавати познате променљиве или евентуално и променљиве које нису у оригиналној једначини прихватају као решења.

На пример, једначина $x + y = 2 x - 1$ је решена за непознато x решењем $x = y + 1$ , јер замењивањем $y + 1$ за x у једначини резултира у $(y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , истинитим изразом. Могуће је и да се узме променљива y за непознату, у ком случају је једначина је решена са $y = x - 1$ . Или се x и y могу третирати као непознате, у ком случају постоји много решења једначине. $(x, y) = (а + 1, а)$ је симболично решење. Инстанцирање симболичког решења са специфичним бројевима увек даје нумеричко решење; на пример, $а = 0$ даје $(x, y) = (1, 0)$ (то јест, $x = 1$ и $y = 0$ ), а $а = 1$ даје $(x, y) = (2, 1)$ . Разлика између познатих и непознатих променљивих је дата у дефиницији проблема, а не у једначини. Међутим, у неким областима математике конвенција је да се резервишу неке променљиве као познате, а друге као непознате. При писању полинома, коефицијенти се обично сматрају познатим, а променљиве су непознате, мада у зависности од проблема, све променљиве могу попримити било коју од улога.

У зависности од проблема, задатак може бити проналажење било ког решења (довољно је проналажење једног решења) или свих решења. Сет свих решења назива се скуп решења. У горњем примеру, решење $(x, y) = (а + 1, а)$ је такође параметризација скупа решења са параметром $а$ .^[11]^[12] Могуће је и да је задатак да се нађе решење, међу многим могућим, које је у неком погледу најбоље; проблеми те природе се називају проблемима оптимизације; решавање оптимизационих проблема се углавном не назива „решавањем једначина”.^[13]^[14]

Формулација попут „једначина од x и y”, или „решити за x и y”, подразумева да су непознате назначене: у овим случајевима x и y.

Преглед[уреди | уреди извор]

У општем случају постоји ситуација као што је

ƒ (x 1,..., x н) = ц

,

где су x₁,...,x_n непознате променљиве, а c је константа. Решења су чланови инверзног приказа^[15]^[16]

ƒ -1 [ц] = {(а 1,..., а н) \in Т 1 \times\cdot\cdot\cdot\times Т н | ƒ (а 1,..., а н) = ц}

,

где је Т₁×···×Т_н домен функције ƒ. Скуп решења може бити празан скуп (нема решења), синглтон (постоји тачно једно решење), коначан или бесконачан (постоји бесконачно много решења).

На пример, једначина као што је

3 x + 2 y = 21 з

са непознатим променљивама x, y и з, може се решити тако што ће се прво променити једначина на неки начин, задржавајући је у еквивалентном облику, као што је одузимање 21z са обе стране једначине да би се добило

3 x + 2 y - 21 з = 0

У овом конкретном случају не постоји само једно решење ове једначине, већ је бесконачни скуп решења, који се може написати

{(x, y, з) | 3 x + 2 y - 21 з = 0}

.

Једно одређено решење је x = 0, y = 0, z = 0. Друга два решења су x = 3, y = 6, z = 1, и x = 8, y = 9, z = 2. Заправо, овој специфични скуп решења описује раван у тродимензионалном простору, која пролази кроз три тачке са тим координатама.

Види још[уреди | уреди извор]

Страна и недостајућа решења
Симултанене једначине
Изједначавање коефицијената
Решавање геодетских једначина
Унификација (информатика) — решавање једначина које обухватају симболичке изразе

Референце[уреди | уреди извор]

^ Wаллис, Јохн (1685). А Треатисе оф Алгебра, ботх Хисторицал анд Працтицал. Схеwинг тхе Оригинал, Прогресс, анд Адванцемент тхереоф, фром тиме то тиме, анд бy wхат Степс ит хатх аттаинед то тхе Хеигхтх ат wхицх ит ноw ис. Оxфорд: Рицхард Давис. дои:10.3931/е-рара-8842.
^ Рапхсон, Јосепх (1697). Аналyсис Æеqуатионум Универсалис сеу ад Æеqуатионес Алгебраицас Ресолвендас Метходус Генералис, & Еxпедита, Еx нова Инфинитарум Сериерум Метходо, Дедуцта ац Демонстрата (на језику: латински) (сецунда изд.). Лондон. дои:10.3931/е-рара-13516.
^ Wасхингтон, Аллyн Ј. (2000). Басиц Тецхницал Матхематицс wитх Цалцулус, Севентх Едитион. Аддисон Wеслеy Лонгман, Инц. ИСБН 978-0-201-35666-3.
^ Рицх, Барнетт; Сцхмидт, Пхилип (2004), Сцхаум'с Оутлине оф Тхеорy анд Проблемс оф Елементарy Алгебра, Тхе МцГраw–Хилл Цомпаниес, ИСБН 0-07-141083-X , Цхаптер 13 §4.4, п. 291
^ Ли, Xухуи. Ан Инвестигатион оф Сецондарy Сцхоол Алгебра Теацхерс' Матхематицал Кноwледге фор Теацхинг Алгебраиц Еqуатион Солвинг, п. 56 (ПроQуест, 2007): "Тхе qуадратиц формула ис тхе мост генерал метход фор солвинг qуадратиц еqуатионс анд ис деривед фром анотхер генерал метход: цомплетинг тхе сqуаре."
^ Роцксwолд, Гарy. Цоллеге алгебра анд тригонометрy анд прецалцулус, п. 178 (Аддисон Wеслеy, 2002).
^ Бецкенбацх, Едwин ет ал. Модерн цоллеге алгебра анд тригонометрy, п. 81 (Wадсwортх Пуб. Цо., 1986).
^ „Еqуатион - Матх Опен Референце”. www.матхопенреф.цом. Приступљено 2020-09-01.
^ „Еqуатионс анд Формулас”. www.матхсисфун.цом. Приступљено 2020-09-01.
^ Марцус, Соломон; Wатт, Степхен M. „Wхат ис ан Еqуатион?”. Приступљено 2019-02-27.
^ Тхомас, Георге Б.; Финнеy, Росс L. (1979). Цалцулус анд Аналyтиц Геометрy (фифтх изд.). Аддисон-Wеслеy. стр. 91.
^ Нyкамп, Дуане. „Плане параметризатион еxампле”. матхинсигхт.орг. Приступљено 2017-04-14.
^ Боyд, Степхен П.; Ванденбергхе, Лиевен (2004). Цонвеx Оптимизатион (пдф). Цамбридге Университy Пресс. стр. 129. ИСБН 978-0-521-83378-3.
^ Аусиелло, Гиоргио; et al. (2003), Цомплеxитy анд Аппроxиматион (Цоррецтед изд.), Спрингер, ИСБН 978-3-540-65431-5
^ Јеан Е. Рубин (1967). Сет Тхеорy фор тхе Матхематициан. Холден-Даy. стр. xиx. АСИН Б0006БQХ7С.
^ M. Рандалл Холмес: Инхомогенеитy оф тхе урелементс ин тхе усуал моделс оф НФУ Архивирано на сајту Wayback Machine (7. фебруар 2018), Децембер 29, 2005, он: Семантиц Сцхолар, п. 2

Литература[уреди | уреди извор]

Гил, А.; Сегура, Ј.; Темме, Н. M. (2007). Нумерицал метходс фор специал фунцтионс (ПДФ). Социетy фор Индустриал анд Апплиед Матхематицс. ИСБН 978-0-89871-634-4.
Сüли, Ендре; Маyерс, Давид (2003). Ан Интродуцтион то Нумерицал Аналyсис. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-00794-1.
Кендалл Е. Аткинсон, Ан Интродуцтион то Нумерицал Аналyсис, (1989) Јохн Wилеy & Сонс, Инц, ISBN 0-471-62489-6
Тјаллинг Ј. Yпма, СИАМ Ревиеw 37 (4), 531–551, 1995. „Хисторицал девелопмент оф тхе Неwтон–Рапхсон метход”. дои:10.1137/1037125. .
Боннанс, Ј. Фрéдéриц; Гилберт, Ј. Цхарлес; Лемарéцхал, Цлауде; Сагастизáбал, Цлаудиа А. (2006). Нумерицал оптимизатион: Тхеоретицал анд працтицал аспецтс. Университеxт (Сецонд ревисед ед. оф транслатион оф 1997 Френцх изд.). Берлин: Спрингер-Верлаг. стр. xив+490. ИСБН 3-540-35445-X. МР 2265882. дои:10.1007/978-3-540-35447-5.
П. Деуфлхард, Неwтон Метходс фор Нонлинеар Проблемс. Аффине Инварианце анд Адаптиве Алгоритхмс. Спрингер Сериес ин Цомпутатионал Матхематицс, Вол. 35. Спрингер, Берлин, 2004. ISBN 3-540-21099-7.
C. Т. Келлеy, Солвинг Нонлинеар Еqуатионс wитх Неwтон'с Метход, но 1 ин Фундаменталс оф Алгоритхмс, СИАМ, 2003. ISBN 0-89871-546-6.
Ј. M. Ортега, W. C. Рхеинболдт, Итеративе Солутион оф Нонлинеар Еqуатионс ин Северал Вариаблес. Цлассицс ин Апплиед Матхематицс, СИАМ, 2000. ISBN 0-89871-461-3.
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). „Chapter 9. Root Finding and Nonlinear Sets of Equations Importance Sampling”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 11. 08. 2011. г. Приступљено 12. 08. 2019. . See especially Sections 9.4 Архивирано на сајту Wayback Machine (11. август 2011), 9.6 Архивирано на сајту Wayback Machine (11. август 2011), анд 9.7 Архивирано на сајту Wayback Machine (11. август 2011).
Каw, Аутар; Калу, Егwу (2008). „Нумерицал Метходс wитх Апплицатионс” (1ст изд.).
Артин, Мицхаел (1991). Алгебра. Прентице Халл. ИСБН 81-203-0871-9.
Т.С. Блyтх, Латтицес анд Ордеред Алгебраиц Струцтурес, Спрингер, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
Мункрес, Јамес Р. (2000). Топологy (2 изд.). Прентице Халл. ИСБН 978-0-13-181629-9.
Келлеy, Јохн L. (1985). Генерал Топологy. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 27 (2 изд.). Биркхäусер. ИСБН 978-0-387-90125-1.
Голуб, Гене Х.; Цхарлес Ф. Ван Лоан (1986). Матриx Цомпутатионс (3рд изд.). Јохнс Хопкинс Университy Пресс. ИСБН 0-8018-5413-X.
Хигхам, Ницхолас Ј. (1996). Аццурацy анд Стабилитy оф Нумерицал Алгоритхмс. Социетy фор Индустриал анд Апплиед Матхематицс. ИСБН 0-89871-355-2.
Хилдебранд, Ф. Б. (1974). Интродуцтион то Нумерицал Аналyсис (2нд изд.). МцГраw-Хилл. ИСБН 0-07-028761-9.
Леадер, Јефферy Ј. (2004). Нумерицал Аналyсис анд Сциентифиц Цомпутатион. Аддисон Wеслеy. ИСБН 0-201-73499-0.
Wилкинсон, Ј.Х. (1965). Тхе Алгебраиц Еигенвалуе Проблем. Цларендон Пресс.
Кахан, W. (1972). А сурвеy оф еррор-аналyсис. Проц. ИФИП Цонгресс 71 ин Љубљана. Инфо. Процессинг 71. вол. 2. Амстердам: Нортх-Холланд Публисхинг. стр. 1214—39. (еxамплес оф тхе импортанце оф аццурате аритхметиц).
Трефетхен, Ллоyд Н. (2006). "Нумерицал аналyсис", 20 пагес. Ин: Тимотхy Гоwерс анд Јуне Барроw-Греен (едиторс), Принцетон Цомпанион оф Матхематицс, Принцетон Университy Пресс.

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

[1] Wаллис, Јохн (1685). А Треатисе оф Алгебра, ботх Хисторицал анд Працтицал. Схеwинг тхе Оригинал, Прогресс, анд Адванцемент тхереоф, фром тиме то тиме, анд бy wхат Степс ит хатх аттаинед то тхе Хеигхтх ат wхицх ит ноw ис. Оxфорд: Рицхард Давис. дои:10.3931/е-рара-8842.

[2] Рапхсон, Јосепх (1697). Аналyсис Æеqуатионум Универсалис сеу ад Æеqуатионес Алгебраицас Ресолвендас Метходус Генералис, & Еxпедита, Еx нова Инфинитарум Сериерум Метходо, Дедуцта ац Демонстрата (на језику: латински) (сецунда изд.). Лондон. дои:10.3931/е-рара-13516.

[Washington2000-3] Wасхингтон, Аллyн Ј. (2000). Басиц Тецхницал Матхематицс wитх Цалцулус, Севентх Едитион. Аддисон Wеслеy Лонгман, Инц. ИСБН 978-0-201-35666-3.

[4] Рицх, Барнетт; Сцхмидт, Пхилип (2004), Сцхаум'с Оутлине оф Тхеорy анд Проблемс оф Елементарy Алгебра, Тхе МцГраw–Хилл Цомпаниес, ИСБН 0-07-141083-X , Цхаптер 13 §4.4, п. 291

[5] Ли, Xухуи. Ан Инвестигатион оф Сецондарy Сцхоол Алгебра Теацхерс' Матхематицал Кноwледге фор Теацхинг Алгебраиц Еqуатион Солвинг, п. 56 (ПроQуест, 2007): "Тхе qуадратиц формула ис тхе мост генерал метход фор солвинг qуадратиц еqуатионс анд ис деривед фром анотхер генерал метход: цомплетинг тхе сqуаре."

[6] Роцксwолд, Гарy. Цоллеге алгебра анд тригонометрy анд прецалцулус, п. 178 (Аддисон Wеслеy, 2002).

[7] Бецкенбацх, Едwин ет ал. Модерн цоллеге алгебра анд тригонометрy, п. 81 (Wадсwортх Пуб. Цо., 1986).

[:1-8] „Еqуатион - Матх Опен Референце”. www.матхопенреф.цом. Приступљено 2020-09-01.

[9] „Еqуатионс анд Формулас”. www.матхсисфун.цом. Приступљено 2020-09-01.

[10] Марцус, Соломон; Wатт, Степхен M. „Wхат ис ан Еqуатион?”. Приступљено 2019-02-27.

[11] Тхомас, Георге Б.; Финнеy, Росс L. (1979). Цалцулус анд Аналyтиц Геометрy (фифтх изд.). Аддисон-Wеслеy. стр. 91.

[12] Нyкамп, Дуане. „Плане параметризатион еxампле”. матхинсигхт.орг. Приступљено 2017-04-14.

[13] Боyд, Степхен П.; Ванденбергхе, Лиевен (2004). Цонвеx Оптимизатион (пдф). Цамбридге Университy Пресс. стр. 129. ИСБН 978-0-521-83378-3.

[Ausiello03-14] Аусиелло, Гиоргио; et al. (2003), Цомплеxитy анд Аппроxиматион (Цоррецтед изд.), Спрингер, ИСБН 978-3-540-65431-5

[15] Јеан Е. Рубин (1967). Сет Тхеорy фор тхе Матхематициан. Холден-Даy. стр. xиx. АСИН Б0006БQХ7С.

[16] M. Рандалл Холмес: Инхомогенеитy оф тхе урелементс ин тхе усуал моделс оф НФУ Архивирано на сајту Wayback Machine (7. фебруар 2018), Децембер 29, 2005, он: Семантиц Сцхолар, п. 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]