Inverzna funkcija
U matematici, ako funkcija ƒ preslikava skup A na skup B, onda je njena inverzna funkcija ƒ-1 takva da preslikava skup B na skup A i to tako da složena funkcija preslikava svaki element skupa A na samog sebe. Nema svaka funkcija svoju inverznu, ona koja ima se zove inverzibilna.
Npr., ako je data funkcija ƒ takva da daje dužinu u miljama ako je data dužina u metrima (ƒ(x) = 1,6 · x), onda njena inverzna funkcija g = ƒ-1 daje dužinu u metrima ako je poznata dužina u miljama (g(x) = x / 1,6).
Inverzibilnost[uredi | uredi izvor]
- Kako funkcija mora da preslikava original u samo jednu sliku, to funkcija koja nije injektivna ne može imati inverznu.
- S druge strane, ako se opseg funkcije nije identičan njenom kodomenu, onda za neke elemente skupa-slike neće biti definisano preslikavanje ƒ-1.
Zato možemo reći da je funkcija inverzibilna akko je bijekcija.
-
Surjektivno ali neinjektivno preslikavanje
-
Injektivno ali nesurjektivno preslikavanje
-
Bijekcija
Npr. fukcija nije ni injektivna (jer pozitivni i negativni brojevi imaju istu sliku), ni surjektivna (jer je rang , a ne čitav kodomen ). Ista funkcija, ali definisana kao ima inverznu funkciju . Funkcija ima inverznu, a nema jer nije injektivna ().
Osobine[uredi | uredi izvor]
Simetrija[uredi | uredi izvor]
Neka je id funkcija identiteta idX = x. Tada važi
odnosno .
Inverzna funkcija složene funkcije[uredi | uredi izvor]
Pri inverziji kompozicije funkcija, osnovne funkcije menjaju redosled:
Autoinverzija[uredi | uredi izvor]
Funkcija identiteta je inverzna sama sebi:
Grafičko predstavljanje[uredi | uredi izvor]
Funkcija i njena inverzna funkcija su simetrične u odnosu na pravu .
Izvod inverzne funkcije[uredi | uredi izvor]
Ako je početna funkcija diferencijabilna, onda se za sve tačke u kojima važi sledeća formula za izvod inverzne funkcije:
Obeležavanje[uredi | uredi izvor]
Važno je uočiti da -1 u označavanju inverzne funkcije nije oznaka za eksponent. Zapravo se zapisuje kao ƒ(x)-1.
U infinitezimalnom računu oznaka ƒ(n) označava n-ti izvod funkcije:
U trigonometriji, iz istorijskih razloga, a ne , ali je , a ne . Upravo da bi se izbegla ova nepreciznost, za inverzne trigonometrijske funkcije koristi se oznaka arc, a za recipročne potpuno druga imena (). .
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd izd.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
- Stewart, James (2002), Calculus (5th izd.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397