Теорија скупова

Из Википедије, слободне енциклопедије

Теорија скупова је грана математике која се бави скуповима. Скуп се уопштено описује као мноштво апстрактних објеката. Сама теорија се налази у основи свих грана математике које се баве бројевима: алгебра, математичка анализа, вероватноћа па и топологија. Она је је уз логику и предикатски рачун једна од аксиоматских темеља математике.

У операције са скуповима спадају операције спајања (симбол ∪) и пресека (симбол ∩). Спој два скупа јесте скуп који садржи све елементе оба скупа, при чему се сваки од тих елемената појављује једанпут.

Пресек је скуп свих елемената који су заједнички за оба првобитна скупа. Теорија скупова користи се у анализи сложених концепата у математици и логици.

Прве покушаје аксиоматског дефинисања теорије скупова је учинио Ђузепе Пеано али је чврсте теоријске основе ове теорије поставио Георг Кантор, који је открио значај јасно формулисаних скупова за анализу проблема симболичке логике и теорије бројева.

Основни концепти[уреди]

Основни однос између објеката и скупова је припадност; ако је дат објекат O и скуп A, онда је O или члан A или није његов члан. Основни однос између два скупа је релација подскупа или инклузија. На пример, {a, b} је подскуп скупа {a, b, c}, али {a, d} није његов подскуп.

Као што постоје аритметичке операције које делују над бројевима, постоје операције у теорији скупова које делују над скуповима. На пример, ако се посматрају скупови {1, 2, 3} и {2, 3, 4}, унија је операција која производи нови скуп {1, 2, 3, 4}, који садржи све елементе који се јављају у било ком од скупова, а операција пресека даје скуп {2, 3}, који се састоји до свих елемената који се јављају у оба почетна скупа. Међу операцијама над скуповима су између осталих и:

  • комплемент: скуп свих елемената скупа U који нису у скупу A, се назива комплементом од A у односу на U, у ознаци A^c. Ова терминологија се најчешће користи када је U имплицитни универзални скуп, као на пример кад се проучавају Венови дијаграми. Скуп елемената U који нису у A се такође назива разликом скупова, у ознаци U \setminus A.
  • симетрична разлика два скупа се састоји од свих елемената који се налазе у тачно једном од скупова (а не и у оба).
  • Декартов производ два скупа, A и B се састоји од свих уређених парова (a, b), где је a члан скупа A, док је b члан скупа B.
  • партитивни скуп скупа A се састоји од свих подскупова од скупа A. На пример, партитивни скуп скупа {1, 2} је { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

Историјат развоја теорије[уреди]

Важну улогу у разматрању појма [бесконачност]]и и њему сродних појмова имао је појам [[[бијекција]]. Узима се да ако постоје два скупа и макар једна функција међу њима која је бијекција, онда та два скупа имају исти број елемената. То значи да ако за два бесконачна скупа, рецимо скупа бројева, пронађемо бар једно бијективно пресликавање међу њима, тада кажемо да они имају једнако много елемената. То је једна од основних идеја оснивача теорије скупова Кантора и Дедекинда и увођења кардиналности.

Почетну идеју скупова је убрзо, почетком 20. века, уздрмао британски математичар и филозоф, Бертранд Расел, нашавши неколико недоследности у Канторовој теорији. Данас се те недоследности обично називају парадоксима теорије скупова. Расел је указао на парадокс празног скупа, који је разрешен дефиницијом да је празан скуп подскуп сваког скупа. Његов други парадокс је парадокс скупа свих скупова. Идеја скупа свих скупова је контрадикторна, тако да данашња теорија скупова, једноставно, не захтева постојање свеобухватног, „универзалног скупа“.

Види још[уреди]