Parsevalova teorema

U matematici, Parsevalova teorema ^[1] obično se odnosi na rezultat da je Furijeova transformacija unitarna ; odnosno, da je suma (ili integral) kvadrata funkcije jednaka zbiru (ili integralu) kvadrata njegove transformacije. Ona potiče iz teoreme iz 1799. godine o serijama Marka-Antoana Parsevala, koja je kasnije primenjena na Furijeov red . Poznata je i kao Rajlehova energetska teorema, ili Rajlehov identitet, nakon Džona Vilijama Strata, lorda Rajleha. ^[2]

Iako se termin „Parsevalova teorema“ često koristi za opisivanje unitarnosti bilo koje Furijeove transformacije, posebno u fizici, najčešći oblik ovog svojstva se pravilnije naziva Planšerelova teorema . ^[3]

Dokaz Parsevalove teoreme[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da su $A(x)$ i $B(x)$ dve kvadratne integrabilne (u pogledu Lebegove mere), funkcije složene vrednosti na $\mathbb {R}$ periode $2\pi$ sa Furijeovim redom

A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}

i

B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}

respektivno. Onda

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,$

(Eq.1)

gde $i$ je imaginarna jedinica, a horizontalne crtice označavaju složenu konjugaciju .

Više uopšteno, data kao abelova lokalna kompaktna grupa G sa dualnošću po Pontragjinu G^, Parsevalova teorema kaže da Pontragjin-Furijeova transformacija jeste unitarni operater između Hilbertovih prostora L² (G) i L² (G^) (s integracija je protiv odgovarajuće umanjene Harove mere na dve grupe.) Kada je G jedinični krug T, G^ su celi brojevi i to je slučaj koji je gore razmatran. Kada je G prava linija $\mathbb {R}$ , G^ je takođe $\mathbb {R}$ a unitarna transformacija je Furijeova transformacija na stvarnoj liniji. Kada je G ciklična grupa Z_n, ponovo je samodualna, a Pontragjin-Fourijeva transformacija je ono što se u primenjenim kontekstima naziva diskretnom Furijevom transformacijom .

Parsevalova teorema se takođe može izraziti na sledeći način: Pretpostavimo da je $f(x)$ kvadratna integrabilna funkcija $[-\pi ,\pi ]$ (tj. $f(x)$ i $f^{2}(x)$ su integrisani na tom intervalu), sa Furijeovim redom

f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).

Tada ^[4] ^[5] ^[6]

{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).

Notacija korišćena u fizici[uredi | uredi izvor]

U fizici i inženjerstvu, Parsevalova teorema se često piše kao:

\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f

gde $X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}$ predstavlja kontinuiranu Furijeovu transformaciju (u normalizovanom, unitarnom obliku) od $x(t)$ , a $\omega =2\pi f$ je frekvencija u radijanima u sekundi.

Tumačenje ovog oblika teoreme je da se ukupna energija signala može izračunati sabiranjem snage po uzorku tokom vremena ili spektralne snage po frekvenciji.

Za diskretne vremenske signale, teorema postaje:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi

gde $X_{2\pi }$ jeste diskretna Furijeova transformacija (DTFT) od $x$ i $\phi$ predstavlja ugaonu frekvenciju (u radijanima po uzorku) od $x$ .

Alternativno, za diskretnu Furijeovu transformaciju (DFT), odnos postaje:

\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}

gde $X[k]$ jeste DFT od $x[n]$ , obe dužine $N$ .

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Parsevalova teorema usko je povezana sa ostalim matematičkim rezultatima koji uključuju unitarne transformacije:

Parsevalov identitet
Planšerelova teorema
Teorema Vajner – Hinčin
Beselova nejednakost

Napomene[uredi | uredi izvor]

^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).
^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.
^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
^ Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. str. 439.
^ Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus (4th izd.). Reading, MA: Addison Wesley. str. 519. ISBN 0-201-57888-3.
^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Prevod: Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. str. 119.

Reference[uredi | uredi izvor]

Parseval, MacTutor arhiva istorije matematike .
George B. Arfken i Hans J. Veber, Matematičke metode za fizičare (Harcourt: San Diego, 2001).
Hubert Kennedi, Osam matematičkih biografija (Peremptori Publications: San Francisco, 2002).
Alan V. Oppenheim i Ronald V. Schafer, 2. izdanje diskretne obrade signala (Prentice Hall: Upper Saddle River, Nj, 1999) str. 60.
Villiam McC. Siebert, Circuits, Signals, and Sistems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), str. 410–411.
David V. Kammler, Prvi kurs u Fourierovoj analizi (Prentice-Hall, Inc., Reka Gornje sedlo, Nj, 2000) str. 74.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Parsevalova teorema na MetVorld

[1] Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).

[2] Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.

[3] Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.

[4] Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. str. 439.

[5] Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus (4th izd.). Reading, MA: Addison Wesley. str. 519. ISBN 0-201-57888-3.

[6] Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Prevod: Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. str. 119.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]