Харова мера

Из Википедије, слободне енциклопедије

У апстрактној математичкој анализи, теорији група и теорији мере, мера Хаара (или Хаарова мера) јесте начин да се дефинише инваријантна мера („запремина“) на подскуповима локално компактних тополошких група, и тим путем дефинише појам интеграла функција на оваквим групама и на њих прошири велики број појмова и резултата класичне анализе.

Мера Хаара је уопштење Лебегове мере, која је транслаторно инваријантна мера на еуклидском простору. Мера Хаара се може дефинисати на ма којој локално компактној тополошкој групи, и посебно на свакој Лијевој групи.

Ову меру је 1932. увео Алфред Хаар, мађарски математичар. Хаарове мере се користе у многим деловима математичке анализе и теорије бројева, као и у теорији оцена.

Појмови[уреди]

Нека је G локално компактна тополошка група (за тополошку групу претпостављамо да је Хаусдорфова). Борелова алгебра на G је σ-алгебра коју генеришу сви компактни подскупови од G; њени елементи називају се Бореловим скуповима.

За сваки подскуп S ⊂ G, и сваки елемент a ∈ G, леви и десни транслати скупа S се дефинишу као:

  • леви транслат, aS = { a · s : s ∈ S },
  • десни транслат, Sa = { s · a : s ∈ S }.

Леви и десни транслати Борелових скупова су такође Борелови скупови.

Мера μ на Бореловим скуповима у G се назива слева транслаторно инваријантном ако за сваки Борелов подскуп S ⊂ G и сваки елемент a ∈ G вреди

μ(aS) = μ(S).

Слично се дефинише и здесна транслаторна инваријантност мере.

Ако је (Xμ) ма који мерљиви тополошки простор, мера μ се назива регуларном ако задовољава следећа три услова:

  • μ(K) је коначно за сваки компактан скуп K ⊂ X,
  • μ је регуларна споља, односно за сваки Борелов скуп E ⊂ X вреди
    μ(E) = inf { μ(U) : E ⊂ UU отворен },
  • μ је регуларна изнутра, односно за сваки Борелов скуп E ⊂ X вреди
    μ(E) = sup { μ(K) : K ⊂ EK компактан }.

Постојање и јединственост мере Хаара[уреди]

Вреди следећа основна

Теорема. Нека је G локално компактна тополошка група. Постоји слева транслаторно инваријантна пребројиво адитивна регуларна мера μ на Бореловим скуповима у G таква да је μ(U) > 0 за сваки непразан отворени скуп U. Ова мера је јединствена до на множење позитивном константом и назива се левом мером Хаара на G.

Постојање мере Хаара је у пуној општости први доказао француски математичар Андре Вејл. Специјалан случај инваријантне мере на компактним групама доказао је сам Хаар 1933.[1] Јединственост је доказао Џон фон Нојман 1935.[2]

На исти начин следи и да на G постоји јединствена (до на множење позитивном константом) здесна транслаторно инваријантна десна мера Хаара ν, која се не мора подударати са левом мером Хаара μ. У случају када се ове две мере подударају, кажемо да је група G унимодуларна група и говоримо напросто о мери Хаара на G.

У општем случају, мере μ и ν су у једноставној вези. Наиме, ако за Борелов скуп S означимо са S−1 скуп инверза елемената из S, тада је S−1 такође Борелов скуп, и функција μ−1 дефинисана са

μ−1(S) := μ(S−1)

је десна мера Хаара. Десна инваријантност следи по дефиницији:

μ−1(Sa) = μ((Sa)−1) = μ(a−1S−1) = μ(S−1) = μ−1(S),

као и пребројива адитивност, регуларност и недегенерисаност. Према јединствености десне мере Хаара следи да је μ−1 умножак мере ν неком позитивном константом k > 0:

μ(S−1) = (S) за све Борелове скупове S.

Модуларна функција[уреди]

Леви транслат сваке десне мере Хаара је и сама једна десна мера Хаара: ако је μ десна мера Хаара, тада је

μt : A ↦ μ(t−1A)

такође здесна транслаторно инваријантна мера која задовољава и све остале услове за меру Хаара. Стога, постоји јединствена функција Δ, која се назива модуо Хаара, модуларна функција или модуларни карактер, таква да је

μ(t−1A) = Δ(t)μ(A)

за сваки Борелов скуп A. Модуларна функција је хомоморфизам групе G у мултипликативну групу позитивних реалних бројева.

Група G се назива унимодуларном ако је њена модуларна функција идентички једнака 1. Овакве су све абелове групе и све компактне групе. Један пример не-унимодуларне групе је група свих инвертибилних линеарних трансформација

x ↦ ax + b

на реалној правој R' (a ∈ R×, b ∈ R'), која је полудиректан производ R ⋊ R×.

Интеграл Хаара[уреди]

Полазећи од мере Хаара, може се путем опште теорије интеграције по Лебегу дефинисати интеграл сваке Борел-мерљиве функције f на G, који називамо интегралом Хаара. Притом, ако је μ лева мера Хаара, тада је

\int_Gf(sx)\,\mbox{d}\mu(x)=\int_Gf(x)\,\mbox{d}\mu(x)

за сваку интеграбилну функцију f. Ово је еквивалентно транслаторној инваријантности слева за просте функције f, и затим следи за све остале функције стандардним постпуком приближења интеграбилних функција елементарним.

Примери[уреди]

  • Мера Хаара на дискретној групи G је напросто бројачка мера; интеграл Хаара своди се у овом случају на сабирање.
  • Мера Хаара μ на тополошкој групи (R,+), уз нормализацију μ([0,1]) = 1, јесте Борелова мера на R (односно рестрикција уобичајене Лебегове мере dx на σ-алгебру Борелових подскупова од R). Аналогно тврђење важи и за групе (Rn,+).
  • Ако је G = (R+,·) тополошка група позитивних реалних бројева са операцијом множења, тада је мера Хаара дата са
    \mu(S)=\int_S\frac1t\,\mbox{d}t за сваки Борелов подскуп S ⊂ R+.
  • Општа линеарна група G = GLn'R' није комутативна за n > 1, али су лева и десна мера Хаара пропорционалне и дате са
    \mu(S)=\int_S\frac{1}{|\det X|^n}\,\mbox{d}X,
где идентификујемо G ↪ 'Rn × n уложену као подскуп простора 'Rn × n свих n × n реалних матрица, dX је Лебегова мера на овом простору (производ Лебегових мера по координатама). Ово следи интеграцијом сменом.

Друга својства и примене[уреди]

За доказивање постојања мере Хаара на локално компактној групи G, често се показује постојање слева инваријантне Радонове мере на G.

Мера Хаара дате локално комактне тополошке групе G је коначна ако и само ако је G компактна група.

Осим ако је G дискретна група, није могуће дефинисати пребројиво адитивну здесна транслаторно инваријантну меру на свим подскуповима од G, уколико се претпостави аксиома избора (види и немерљиви скупови).

Мере Хаара се користе за хармонијску анализу на произвољној локално компактној групи, види Понтрјагинов дуал. Посебно је значајна употреба у теорији бројева, где се користе мере Хаара на разним редуктивним алгебарским групама, тотално неповезаним локално компактним p-адским групама, глобалним аделичким групама, итд.

Извори[уреди]

  1. ^ A. Haar, Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen, Annals of Mathematics, v34 (1933).
  2. ^ Neumann (J. von), The uniqueness of Haar's measure, Math. Sbornik, t 1/43 (1936), p 721.