Ојлеров идентитет

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

e^{\mathrm{i} \varphi } = \cos {\varphi} + \mathrm{i} \sin{\varphi}

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број \mathrm{e} \, је Ојлеров број (база природног логаритма), \mathrm{i} \, имагинара јединица комплексних бројева, а \varphi\in\Bbb R угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била \varphi\in\Bbb R, једначина важи и за \varphi\in\Bbb C.

За угао \varphi = \pi \, добија се идентитет

\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi } = -1\,

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi } + 1 = 0\,

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве \mathrm{i}, \pi \,, \mathrm{e} \,, 1, и 0 (нула), основне математичке радње + и степеновање, најважнију релацију =, и ништа више.


Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента z=x+\mathrm{i}y \, прво дефинисала експоненцијална функција:

\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}:=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)\,

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода[уреди]

Посматрамо функцију:

f(x) = \frac{ \cos(x) + \mathrm{i} \cdot \sin(x) } { \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } }

Именилац никада није нула, јер важи:

\mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \cdot \mathrm{e}^{ -\mathrm{i} x } = \mathrm{e}^{ 0 } = 1

Ојлеров идентитет тврди да је f(x)=1 \, за све вредности x \,.

Прво доказујемо да је функција f(x) \, константна, односно да је њен извод f'(x) = 0 \, за све x \,:

Знамо да је извод од \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \,:


\left[\mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \right]' = \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x }

Следи:

f'(x)\, =\frac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\cos x+\mathrm i\cdot\sin x)\cdot\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}
=\frac{-\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}+\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i^2\cdot\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}
=0\,

f'(x) = 0 \, значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то 0 \,:


f(0) = \frac{ \cos(0) + \mathrm{i} \cdot \sin(0)}{ \mathrm e^{\mathrm i0} } = \frac{ 1 + 0 }{ \mathrm e^{0} } = \frac{1}{1} = 1

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода[уреди]

Друга метода се користи редовима за \cos \,, \sin \, и \mathrm e^{x} \,. Знамо да ове три функције можемо написати као:


\mathrm e^{x} = \sum_{k=0}^{2N+1} \frac{ x^k }{k!},\ \ \ \ N \rightarrow \infty

\cos(x) = \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \frac{ x^{2k} }{ (2k)! },\ \ \ \ N \rightarrow \infty

\sin(x) = \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \frac{ x^{2k+1} }{ (2k+1)! },\ \ \ \ N \rightarrow \infty

Из тога следи да \mathrm e^{\mathrm i x} \, можемо поделити:


\mathrm e^{\mathrm i \varphi} =  \sum_{l=0}^{2N+1} \frac{ (\mathrm i \varphi)^l }{l!}
= \sum_{m=0}^{N}(-1)^m \frac{ \varphi^{2m}}{(2m)!} + \mathrm i \sum_{n=0}^{N} (-1)^n \frac{ \varphi^{2m+1}}{(2m+1)!}

За N \rightarrow \infty \, добијамо \mathrm e^{\mathrm i \varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi), што је наш тражени резултат.


Спољашње везе[уреди]