Тригонометријске функције

Из Википедије, слободне енциклопедије

Тригонометријске функције су функције угла. Добиле су име по грани математике која их користи за решавање троуглова, а која се назива тригонометрија.

Када је угао, дакле аргумент ових функција реалан број, тада су то функције равнинске тригонометрије: синус и косинус, од којих се изводе све остале. Од осталих основних функција угла често су у употреби тангенс, па и котангенс, затим, мало ређе се срећу косеканс и секанс, и коначно најређе синус версус и косинус версус. Када је угао комплексан број тада функције угла могу прећи у хиперболичке функције.

Инверзне тригонометријске функције зову се циклометријске функције и аркус-функције, тј. функција-1.

Дефиниције[уреди]

Сл.1. Тригонометријски троугао

Основне тригонометријске функције синус, косинус и тангенс се обично дефиншу помоћу правоуглог троугла, слика десно.

x = r\cdot\cos\phi,\; y = r\cdot\sin\phi,\; \frac{y}{x}=\operatorname{tg}\phi.

Позитиван математички угао има супротан смер од казаљке на сату, слично као и кретање Сунца у односу на сунчеву сенку на слици 2.

Kretanje-sunca.gif

Тригонометријска кружница[уреди]

На слици (3) доле је кружница полупречника један са центром у исходишту, тј. x^2+y^2=1, која се зове тригонометријска кружница. У следећој дефиницији и теореми (1), тангенс и котангенс (б) се у англосаксонским земљама означавају tan и cot, косеканс (в) се и код нас означава cosec.

Сл.3. Тригонометријска кружница
Дефиниција 1
Тригонометријске реалне функције угла φ дефинишу се једнакостима
(а) \cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\, синус и косинус су реални бројеви;
(б) \operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}, тангенс и котангенс;
(в) \sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi}, секанс и косеканс.
(г) \operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi, косинус версус и синус версус.

Функције (в), а нарочито (г) ретко срећемо.

Теорема 1
(а) \overline{OA} = \cos\phi,\; \overline{OC} = \sin\phi, косинус и синус;
(б) \overline{BE}=\operatorname{tg}\phi,\; \overline{FG}=\operatorname{ctg}\phi, тангенс и котангенс;
(в) \overline{OE}=\sec\phi,\; \overline{OG}=\csc\phi, секанс и косеканс.
Доказ
Тачка Т са слике 1. овде (сл.2.) је тачка D.
(а) Следи непосредно због полупречника r = 1.
(б) Уочимо сличне троуглове \Delta EBO\sim\Delta DAO, одакле \overline{BE}:\overline{OB}=\overline{AD}:\overline{OA}, тј. \overline{BE}:1=\sin\phi:\cos\phi; уочимо сличне троуглове \Delta GFO\sim\Delta OAD, одатле \overline{FG}:\overline{FO}=\overline{OA}:\overline{AD}, тј. \overline{FG}:1=\cos\phi:\sin\phi.
(в) Из истих сличних троуглова (б) добијамо \overline{OE}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{OA}, тј. \overline{OE}:1=1:\cos\phi; затим \overline{OG}:\overline{OF}=\overline{OD}:\overline{AD}, тј. \overline{OG}:1=1:\sin\phi. Крај доказа.

Посебни углови[уреди]

Овде ће бити анлизиране особине вредности тригонометријских функција за посебне углове.

Предзнак[уреди]

На претходној слици (3) представљен је Декартов правоугли систем координата и тачка D на тригонометријској кружници. Угао BOD = φ може неограничено расти док покретни крак угла (OD) пролази редом кроз први, други, трећи и четврти квадрант, а затим поново по истом кругу. Дакле, угао φ може расти до 360° и даље. При томе се пројекције тачке D на апсцису и ординату увек рачунају као косинус и синус угла φ. То значи да је косинус позитиван када је тачка D у првом и четвртом квадранту, а да је синус позитиван када је тачка D у првом и другом квадранту. Детаљно то видимо у следећој табели:

Тригонометријске функције по квадрантима
Квадрант 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
синус + + - -
косинус + - - +
тангенс + - + -

Свођење на први квадрант[уреди]

Лако је преко тригонометријске кружнице или адиционих формула проверити тачност формула за свођење вредности тригонометријских функција на функције углова из првог квадранта:

\cos(180^o-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o-\phi)=\sin\phi,
\cos(180^o+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o+\phi)=-\sin\phi,
\cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.

Функције косинус и синус су периодичне са основним периодом 360°, a функција тангенс је периодична са периодом 180°:

\cos(360^o+\phi)=\cos\phi,\; \sin(360^o+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(180^o+\phi)=\operatorname{tg}\phi.

Период синусне и косинусне функције може се наћи из формуле: T = \frac{2\pi}{\omega}

Тако је период функције sin{2\alpha} једнак T= \frac{2\pi}{2}, односно \pi.

Функције углове већих од 360 степени претходним формулама се своде на функције мањих углова, а затим даље, ако је потребно, на први квадрант, на начин видљив у следећој табели:

\beta\, \frac{\pi}{2} + \alpha \pi + \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} + \alpha \frac{\pi}{2} - \alpha \pi - \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} - \alpha 2\,\pi - \alpha
\sin\beta\, \cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \cos\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\,
\cos\beta\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \sin\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\, \cos\alpha\,
\operatorname{tg}\,\beta -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha
\operatorname{ctg}\,\beta -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha

У општем случају то се може записати овако:

 f (n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha)
 f (n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha)
 f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)
 f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)

Притом је f — произвољна тригонометријска функција, g — одговарајућа јој функција (косинус за синуса, синус для косинус и аналогно за остале функције), а nцео број.

Вредности тригонометријских функција[уреди]

Вредности тригонометријских функција приказане на тригонометријској кружници

За неке од углова из првог квадранта се функције лакше израчунавају:

Најчешће вредности тригонометријских функција
\phi\, 30° 45° 60° 90°
\sin\phi\, 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos\phi\, 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
\operatorname{tg}\phi 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \pm\infty

Један од начина израчунавања ових вредности је приказан у прегледу основних углова. Из табеле се види да су већ код „основних“ углова тригонометријске функције ирационални бројеви и да би слични изрази за друге углове могли бити још сложенији. Једноставнији од тих сложенијих израза био би, на пример \sin 15^o=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}, и то је најмањи угао чији се синус може представити писањем просте алгебарске комбинације рационалних бројева и коренова. Вековима су тригонометријске вредности записиване у тригонометријске таблице, на 5 до 10 децимала, a у последње време користи се скоро искључиво рачунар или калкулатор.

Вредности тригонометријских функција неких углова које се нешто дужим путем израчунавају дати су у следећој табели:

\alpha\, \frac{\pi}{12} = 15^\circ \frac{\pi}{10} = 18^\circ \frac{\pi}{8} = 22.5^\circ \frac{\pi}{5} = 36^\circ \frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ \frac{3\,\pi}{8} = 67.5^\circ \frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}
\cos \alpha\, \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4}
\operatorname{tg}\,\alpha 2-\sqrt{3} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}}
\operatorname{ctg}\,\alpha 2 + \sqrt{3} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}

Када тачка D једном обиђе кружницу пређе пут 2π односно направи 360°. Лук дужине π одговара углу 180° - испружени угао, π/2 је 90° - прави угао, π/3 је 60°, π/4 је 45°, π/6 је 30°, и уопште лук дужине x радијана одговара углу 360x/2π степени. За један радијан, х = 1, добија се угао 57,2957795... степени, тј. у степенима, минутама и секундама 57°17'44,8". Један степен има 60 минута, а једна минута има 60 секунди. Изрази минуте и секунде потичу од латинских речи: partes minutae primae и partes minutae secundae, тј. први мали делови и други мали делови. Математички текстови за јединицу угла подразумевају радијан.

Редови[уреди]

Тригонометријске функције се, такође, могу представљати (бесконачним) редовима:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... = = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

Ови редови се могу употребити и за дефинисање тригонометријских функција комплексног броја z, и хиперболичких функција.

Имајући у виду једнакости \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, \operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x} и \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, у Тејлоров ред се могу разложити следеће функције:

{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}
{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}
{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{E_{n}}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}
{\csc x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

Графици[уреди]

Тригонометријске функције се могу графички представити. На следећим сликама су приказани њихови графици:

Sine cosine plot.svg
Графици тригонометријских функција: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Парност[уреди]

Косинус и секанс су парне функције, док су преостале четири непарне функције:

 \sin \left(- \alpha \right)  = - \sin \alpha \,,
 \cos \left(- \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
 \sec \left(- \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Гранична вредност[уреди]

Сл.4. Тетива је краћа од лука

На слици (4) лево видимо тетиву \overline{DAH} која је сигурно краћа од лука \widehat{DBH}. Тетива је најкраће растојање између две тачке на кружници. Зато је полутетива \overline{DA} краћа од полулука \widehat{DB}. Троугао OAD, са оштрим углом φ је правоугли. Прави угао је у темену А, катета ОА износи \cos\phi, катета DA износи \sin\phi, хипотенуза је дужине један. Када је угао у радијанима и 0<\phi<\frac{\pi}{2}, тада је

Теорема 1
\lim_{\phi\to 0}\sin\phi=0,\;\lim_{\phi\to 0}\cos\phi=1.

Доказ: Следи из 0<\sin\phi<\widehat{DB}=\phi и 0<1-\cos\phi<\overline{AB}<\overline{DB}<\widehat{DB}=\phi. Крај.

Када угао тежи нули преко позитивних вредности, синус је тада позитиван, а негативан је када угао тежи нули преко негативних вредности. Напротив, косинус је у оба случаја позитиван. Из тога произилазе лимеси за котангенс: \lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty. Заменом х са комплементним углом добићете одговарајуће лимесе за тангенс.

Сл.5. Тригонометријски круг
Теорема 2
\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Доказ
На слици (5) десно, површина правоуглог троугла OAD мања је од површине кружног исечка OBD, а ова опет мања од површине правоуглог троугла OBE. Назовимо са х угао BOE. Отуда \frac{\sin x\cos x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}. Поделимо ли ове неједнакости са (позитивним) \frac{\sin x}{2}, добићемо \cos x<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}, а отуда \frac{1}{\cos x}>\frac{\sin x}{x}>\cos x. Са x\to 0 вреди \cos x\to 1,\; \frac{1}{\cos x}\to 1, па је \frac{\sin x}{x}\to 1. Синус је парна функција па је доказ за негативне углове исти. Крај доказа.

Извод[уреди]

Извод функције f(x) по дефиницији је гранична вредност: f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Теорема 3
(а) (\sin x)'=\cos x,\,
(б) (\cos x)'=-\sin x,\,
(в) (\operatorname{tg}x)'=\sec^2x.\,
(г) (\operatorname{ctg}x)'=-\csc^2x.\,
Доказ
(а) \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}, па је
\frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\rightarrow\cos x, када \Delta x\rightarrow 0 (теорема 2).
(б) Због \cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x), биће (\cos x)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)'=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin x.
(в) Извод количника (\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=
=\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x.
(г) Извод количника (\operatorname{ctg}x)'=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=
=\frac{\cos'x\sin x-\sin'x\cos x}{\sin^2x}=\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x. Крај доказа 3.

Интеграли тригонометријских функција[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Списак интеграла тригонометријских функција

Интеграли неких тригонометријских функција приказани су овде:

\ \ \ \ f(x) \ \ \ \ f'(x) \int f(x)\,dx
\,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C
\,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C
\,\ \tan x \,\ \sec^2 x = 1+\tan^2 x -\ln \left |\cos x\right | + C
\,\ \cot x \,\ -\csc^2 x = -(1+\cot^2 x) \ln \left |\sin x\right | + C
\,\ \sec x \,\ \sec x\tan x \ln \left |\sec x + \tan x\right | + C
\,\ \csc x \,\ -\csc x \cot x \ -\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C

Друге особине[уреди]

Преглед скоро свих особина тригонометријских функција које се тичу решавања троуглова дат је у прилогу: равнинска тригонометрија. У посебном прилогу могу се пронаћи докази за адиционе формуле, где спадају и формуле за двоструке углове, затим половине углова, те представљање збира и разлике тригонометријских функција помоћу производа и обратно, и изражавање осталих тригонометријских функција помоћу тангенса половине угла. Такође, у посебном прилогу се налазе тригонометријске једначине.

Тригонометријске функције као решења диференцијалних једначина[уреди]

Тригонометријске функције косинус и синус могу се представити као решења диференцијалне једначине:

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

са почетним условом \cos(0) = \sin '(0) = 1.

\ \cos '' x = - \cos x,
\ \sin '' x = - \sin x.

Тригонометријске функције као решења функционалних једначина[уреди]

Функције косинус и синус се могу одредити као непрекидна решења система функционалних једначина:

\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)
\end{array}
\right.

Инверзне тригонометријске функције[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Инверзне тригонометријске функције

Инверзне тригонометријске функције су arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Оне су инверзне тригонометријским функцијама sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Префикс аркус потиче од латинске речи arcus - лук, угао. Називају се још и циклометријским функцијама.

 \begin{matrix}

 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsin x & \mbox{ako} & x = \sin y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 \le y \le \pi,
 & y = \arccos x & \mbox{ako} & x = \cos y \,;\\ \\
 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2},
 & y = \arctan x & \mbox{ako} & x = \tan y \,;\\ \\
 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0,
 & y = \arccsc x & \mbox{ako} & x = \csc y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsec x & \mbox{ako} & x = \sec y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 < y < \pi,
 & y = \arccot x & \mbox{ako} & x = \cot y \,.

\end{matrix}

Примена у физици[уреди]

Примена тригонометрије и тригонометријских функција у физици је јако велика. Тако се на пример прилично користе у анализи простирања таласа, описивању хармонијских осцилација као периодичног кретања, представљања наизменичне струје итд.

Види још[уреди]