Прекиди функције

У математичкој анализи, за функцију кажемо да има прекид у некој тачки x₀ ако није непрекидна у x₀.

Функцију која има прекид можемо замислити тако да када цртамо њен график, морамо подићи оловку са папира да би нацртали цео график. Ово објашњење треба схватити строго интуитивно, јер се и график неких непрекидних функција црта са подизањем оловке.

Функција са прекидом

Функција $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ је непрекидна у тачки $x_0 \in X$, ако је:

$(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in X)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)$

Негацијом ове дефиниције добијамо: Функција $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ има прекид у тачки $x_0 \in X$, ако је:

$(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in X)(|x - x_0| < \delta \and |f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon)$

Врсте прекида

Дефиниција: Постоје две врсте прекида:

1. Прекид прве врсте:

• Када постоје коначне граничне вредности $\lim_{x \rightarrow x_0 +}{f(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow x_0 -}{f(x)}.$
• Када је тачка $x_0$ тачка нагомилавања једног од скупова $x \in X, x > x_0$ или $x \in X, x < x_0$ и постоји одговарајући од та два лимеса $\lim_{x \rightarrow x_0 +} f(x)$ и $\lim_{ x \rightarrow x_0 -} f(x)$.

Специјално, прекид прве врсте је отклоњив када је $\lim_{x\rightarrow x_0 +} f(x) = \lim_{ x \rightarrow x_0 -} f(x) = \lim_{ x \rightarrow x_0} f(x)$.

2. Прекид друге врсте:

• Ако није прве врсте.

Отклоњив (привидан) прекид

Отклоњив, тј. привидан, прекид јавља се у првом случају, односно када је $\lim_{x\rightarrow x_0 +} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0 -} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = L, L \ne f(x_0)$.

Као што и назив прекида каже, можемо га отклонити, тј. додефинисати функцију, тако да она буде непрекидна. То можемо тако што ћемо дефинисати нову функцију $g(x)$:

$g(x) = \begin{cases} f(x), & x\in X, x \ne x_0 \\ L, & x = x_0 \end{cases}$

Напомена

Како би се избегло могућу грешку, када се за функцију која у тачки $x_0$ има граничне вредности, и оне су једнаке, а у самој тој тачки функција није дефинисана, тврди да има прекид у тој тачки, треба водити рачуна о томе да функција не може имати прекид у тачки у којој није дефинисана, односно у тачки која не припада њеном домену.

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Види још

• Непрекидна функција
• Математичка анализа
• Гранична вредност функције
• Дирихлеова функција
• Томаова функција