Сигнум функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Сигнум функција

У математици, а посебно у информатици, сигнум функција је логичка функција која враћа знак реалног броја. Сигнум функција се често означава са sgn и може се дефинисати као:

 \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1 & : &  x < 0 \\
0 & : &  x = 0 \\
1 & : &  x > 0 \end{matrix} \right.

Сваки реалан број се може представити као производ његове апсолутне вредности и његове сигнум функције:

 x = (\sgn x ) |x|. \qquad \qquad (1)

Из једнакости (1) следи да, када год x није 0, имамо

 \sgn x = {x \over |x|} \qquad \qquad (2)

Сигнум функција је извод функције апсолутне вредности (осим у нули):

 {d |x| \over dx} =  {x \over |x|}.

Сигнум функција је диференцијабилна са изводом 0 свуда осим у 0. Није диференцијабилна у 0 у класичном смислу, али под генерализацијом диференцијала (погледати расподела), можемо рећи да је диференцијал сигнум функције два пута Диракове делта функције,

 {d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x).

Сигнум функција је везана са Хевисајдовом одскочном функцијом h1/2(x):

 \sgn x = 2 h_{1/2}(x) - 1, \,

где индекс 1/2 одскочне функције означава да је h1/2(0) = 1/2.

Сигнум функција се може уопштити комплексним бројевима:

\sgn z = \frac z{|z|}

за свако z ∈ ℂ \ {0}.