Хевисајдова функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Хевисајдова функција приказана уз конвенцију да је вредност функције за x=0 једнака 0,5

Хевисајдова функција (звана и јединична одскочна функција), названа у славу Оливера Хевисајда, је прекидна функција која има вредност нула за негативне вредности аргумента и један за позитивне вредности аргумента:

u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

Функција се користи у математици система управљања и обради сигнала да би се представио сигнал који мења стање (укључује се или се искључује) у одређено време и остаје у том стању бесконачно дуго.

Хевисајдова функција представља функцију расподеле случајне променљиве која скоро сигурно има вредност 0.

Хевисајдова функција је интеграл Диракове делта функције.

 u(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}  dt

Није усвојена јединствена дефиниција за вредност u(0). Неки аутори дају u(0) = 0, неки u(0) = 1. Различите вредности имају смисла у различитим интерпретацијама Хевисајдове фунцкије. u(0) = 1/2 је можда најприхваћенија вредност,[тражи се извор од 09. 2009.] јер се тако максимизира симетрија функције, и постаје потпуно конзистентна са сигнум функцијом. Овим долазимо до следеће дефиниције:

 u(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}
 u(x) = \frac{1}{2} \left (1 + \sgn(x) \right)

Често је корисна и интегрална представа одскочне функције:

u(x)=\lim_{ \epsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\epsilon} e^{-i x \tau} d\tau

Дискретни облик[уреди]

Можемо такође дефинисати и алтернативни облик јединичне одскочне функције дискретне променљиве n:

u[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}

где је n цео број.

Ова функција је кумулативна сума Кронекер делта функција:

 u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \,

где је

 \delta[k] = \delta_{k,0} \,

функција дискретног јединичног импулса.