Кошијева теорема о средњој вредности

Кошијева теорема је теорема средње вредности, и представља уопштење Лагранжове теореме. Названа је по математичару Огистену Лују Кошију.

Формулација

Кошијева теорема се прецизно формулише на следећи начин:

Ако су функције $f$ и $g$:

• непрекидне на затвореном интервалу $[a,b]$ ,
• диференцијабилне на отвореном интервалу $(a,b)$, и
• $g'(x)\neq 0$

тада постоји тачка $c\in (a,b)$, за коју важи ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

Доказ

Дефинишимо функцију:

$h(x)=f(x)-f(a)-({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})(g(x)-g(a)))$

Како је функција $f$ непрекидна и диференцијаблна на интервалу $[a,b]$, односно $(a,b)$, и функција $h$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, $h(a)=h(b)=0$, што значи да на функцију $h$ можемо применити Ролову теорему.

$h'(x)=f'(x)-({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})g'(x)$

Из претходног објашњења следи

$0=h'(c)=f'(c)-({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})g'(c)$,

а одавде следи и тврђење теореме:

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}=({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})$

Напомене

• Кошијева теорема је уопштење Лагранжове теореме, јер за $g(x)=x$ добијамо тврђење управо те теореме.

Види још

• Интервал (математика)
• Ролова теорема
• Тејлорова теорема
• Лагранжова теорема
• Теореме средње вредности
• Математичка анализа