Филтер (математика)

У математици, филтер је посебан подскуп парцијално уређеног скупа. Филтери се јављају у теорији уређења и теорији мрежа, а такође и у топологији, где су и настали. Дуалан појам појму филтера је идеал.

Мотивација[уреди | уреди извор]

Интуитивно, филтер у парцијално уређеном скупу (посету), П, је подскуп од П који садржи оне елементе који задовољавају неке задате критеријуме. На пример, ако је x елемент посета, онда је скуп елемената већих од x филтер, назван главним филтером над x. (Ако су x и y неупоредиви елементи посета, онда ниједан од главних филтера над x и над y није садржан у другом, и обрнуто.)

Слично, филтер на скупу садржи оне подскупове који су довољно велики да испуњавају задати услов. На пример, ако је скуп реална права и x једна од њених тачака, онда је фамилија скупова која садржи x у својој унутрашњости филтер, назван филтер околина од x. У овом случају услов је мало већи од x, али још не садржи ни једну одређену тачку праве.

Горње интерпретације објашњавају услове 1 и 3 у одељку Општа дефиниција: Очигледно празан скуп није "довољно велики", и очигледно скуп "довољно великих" елемената требало би да буде "одозго затворен". Међутим, оне заправо не објашњавају услов 2 опште дефиниције. Зашто би два "довољно велика" елемента садржала заједнички "довољно велики" елемент?

Алтернативно, филтер се може посматрати као "шема лоцирања": Када покушавамо да лоцирамо нешто (тачку или подскуп) у простору X, назовимо филтер скупом подскупова од X који мора садржати "оно што је тражено". Онда тај "филтер" природно мора имати следећу структуру:

1. Празан скуп не садржи ништа тако да он не може припадати филтеру.

2. Ако два подскупа, Е и Ф, садржате "оно што је тражено", онда и њихов пресек то садржи. Сходно томе, требало би да је филтер затворен због коначног пресека.

3. Ако скуп Е садржи "шта је тражено", то такође мора и сваки његов подскуп. Сходно томе, филтер је одозго затворен.

Ултрафилтер се може посматрати као "савршена шема лоцирања" где сваки подскуп Е простора X може бити коришћен у одлучивању да ли се "оно што је тражено" може налазти у Е.

Из ове интерпретације, компактност се може посматрати као особина да се "ни једна шема лоцирања не може завршити ничим", или, другачије речено, "увек постоји нешто што ће се пронаћи".

Математички појам филтера пружа прецизан језик за поступање у овим ситуацијама на ригорозан и општи начин, који је користан у анализи, топологији и логици.

Општа дефиниција[уреди | уреди извор]

Подскуп Ф парцијално уређеног скупа (П,≤) је филтер ако важе следећи услови:

Ф је непразан.
За свако x, y из Ф, постоји з из Ф такво да з≤x и з≤y. (Ф опадајуће усмерен)
За свако x из Ф и y из П, x≤y следи да је y из Ф. (Ф је горњи скуп, или одозго затворен)

Филтер је прави ако није једнак целом скупу П. Овај услов се понекад додаје дефиницији филтера.

Иако је ово најопштији начин за дефинисање филтера за произвољне посете, првобитно је био дефинисан само за мреже. У том случају, горња дефиниција се може заменити следећом еквивалентном изјавом: Подскуп Ф мреже (П,≤) је филтер, акко је непразан горњи скуп који је затворен коначним инфимумима, односно, за све x, y из Ф, то је такође случај када је x ∧ y из Ф.^[1]^‍:184 Подскуп С од Ф је база филтера ако је горњи скуп генерисан С цело Ф.

Најмањи филтер који садржи дати елемент п је главни филтер и п је главни елемент у том случају. Главни филтер за п је управо задат скупом $\{x\in P\ |\ p\leq x\}$ и означен је префиксом п са стрелицом усмереном на горе: $\uparrow p$ .

Дуалан појам филтеру, односно појам добијен обртањем свих ≤ и заменом ∧ са ∨, је идеал. Због дуалности, распрва о филтерима се обично своди на расправу о идеалима.

Филтер на скупу[уреди | уреди извор]

Специјалан случај филтера су филтери дефинисани на скупу. За дати скуп С, парцијално уређење ⊆ се може дефинисати на партитивном скупу П(С) са релацијом подскуп, претварајући (П(С),⊆) у мрежу. Дефинишимо филтер Ф на С као непразан подскуп партитивног скупа П(С) са следећим особинама:

Ако су А и Б из Ф, онда је такође и њихов пресек. (Ф је затворен коначним пресеком)
Ако је А из Ф и А је подскуп од Б, онда је Б из Ф, за све подскупове Б од С. (Ф је одозго затворен)

Из ове дефиниције, филтер на скупу је заиста филтер.

Друга особина подразумева да је С из Ф (одакле важи да је Ф непразан подскуп партитивног скупа П(С)).

Ако непразан скуп не припада Ф, кажемо да је Ф прави филтер.^[2] Особина 1 имплицира да прави филтер на скупу има особину коначног пресека. Једини филтер на С који није прави је П(С).

База филтера (или безе филтера) је подскуп Б од П(С) са особином да је Б непразан и пресек било која два елемента скупа Б садржи (као подскуп) елемент скупа Б (Б је опадајуће усмерен). Ако празан скуп не припада Б, кажемо да је Б права база филтера.

Дати филтер базе Б, филтер генерисан или разапет са Б је дефинисан као најмањи филтер који садржи Б. То је фамилија свих подскупова од С која укључује елементБ. Сваки филтер је такође филтер базе, па се процес преласка са филтера безе на филтер може видети као нека врста употпуњавања.

Ако су Б и C две базе филтера на С, каже се да је C финија од Б (или да је C уситњење од Б)ако за сваку Б₀ ∈ Б, постоји C₀ ∈ C таква да C₀ ⊆ Б₀. Такође ако је Б финија C, каже се да су оне еквивалентне базе филтера.

Ако су Б и C базе филтера, онда је C финија од Б акко тхе филтер разапет са C садржи филтер разапет са Б. Одатле, Б и C су еквивалентне базе филтера акко генеришу исти филтер.
За базе филтера А, Б, и C, ако је А финија од Б и Б финија од C онда је А финија од C. Према томе релација уситњавања је преуређење на скупу база филтера, и прелазак са базе филтера на филтер је врста преласка са преуређења на повезано парцијално уређење.

За сваки подскуп Т од П(С) постоји најмањи (вероватно не прави) филтер Ф који садржи Т, назван филтером генерисаним или развученим са Т. Конструисан је узимањем свих коначних пресека од Т, који онда формирају базу филтера за Ф. Тај филтер је прави акко је коначан пресек елемената од Т непразан, у том случају кажемо да је Т подбаза филтера.

Примери[уреди | уреди извор]

Нека је С скуп и C непразан подскуп одС. Тада је $\{C\}$ база филтера. Филтер који генерише (односно, скуп свих подскупова који садрже цонтаининг C) се назива главни филтер генерисан са C.
Филтер је слободан филтер ако је пресек свих његових чланова празан. Прави главни филтер није слободан. Будући да је пресек било ког коначног броја чланова филтера такође члан, не постоји прави филтер на коначном скупу који је слободан, и заиста главни филтер је генерисан заједничким свих својих чланова. Филтер који није главни на бесконачном скупу није нужно слободан.
Фрешеов филтер на бесконачном скупу С је скуп свих подскупова од Скоји имају коначан комплемент. Филтер на С је слободан акко садржи Фрешеов филтер.
Свака униформна структура на скупу X је филтер на X×X.
Филтер на посету може бити направљен коришћењем Расиова-Сикорски леме, често коришћене у форсирању.
Скуп $\{\{N,N+1,N+2,\dots \}:N\in \{1,2,3,\dots \}\}$ је назван база филтера репова низа природних бројева $(1,2,3,\dots )$ . База филтера репова може бити направљена од било које мреже $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ коришћењем конструкције $\{\{x_{\alpha }:\alpha \in A,\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}$ , где је филтер који та база генерише назван филтер случајности мреже. Стога, све мреже генеришу базу филтера (и одатле филтер). Како су сви низови мреже, ово важи такође важи и за низове.

Филтери у теорији модела[уреди | уреди извор]

За сваки филтер Ф на скупу С, скуп функција дефинисан са:

$m(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}A\in F\\0&{\text{if }}S\setminus A\in F\\{\text{nedefinisano}}&{\text{inače}}\end{cases}}$

је коначно адитиван "мера" ако се тај термин слободно тумачи. Дакле, тврђење: $\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$

може се сматрати донекле аналогним тврђењу да φ важи "скоро свугде". То тумачење припадања филтеру се користи (за мотивацију, иако није потребна за стварне доказе) у теорији ултрапроизвода у теорији модела, грани матеметичке логике.

Филтери у топологији[уреди | уреди извор]

У топологији и анализи, филтери се користе за дефинисање конвергенције слично низовима у метричким просторима.

У топологији и с њом повезаним областима математике, филтер је уопштење мрежа. Обоје, мреже и филтери, пружају веома опште контексте за обједињавање различитих појмова лимеса у произвољним тополошким просторима.

Низ је обично индексиран природним бројевима, који чине тотално уређен скуп. Према томе, лимеси у првобројним просторима могу бити описани помоћу низова. Међутим, ако простор није првопребројив, мреже или филтери могу бити коришћени. Мреже уопштавају појам низа захтевајући да скуп индекса буде усмерен. Филтери се могу сматрати скуповима изграђеним из више мрежа. Стога су и лимес филтера и лимес мреже појмовно једнаке лимесу низа.

Базе околина[уреди | уреди извор]

Нека је X тополошки простор и x тачка из X.

Узмимо да је Н_x филтер околина у тачки x за X. То значи да је Н_x скуп свих тополошких околина тачке x. Може се проверити да је Н_x филтер. Систем околина је друго име за филтер околина.
Када се каже да је Н база околина у x за X то значи да је сваки подскуп V₀ од X околина тачке x акко постоји Н₀ ∈ Н такав да Н₀ ⊆ V₀. Свака база околине у x је база филтера који генерише филтер околина у x.

Конвергентне базе филтера[уреди | уреди извор]

Нека је X тополошки простор и x тачка из X.

Каже се да база филтера Б конвергира ка x, у ознаци Б → x, што значи да за сваку околину У од x, постоји Б₀ ∈ Б таква да Б₀ ⊆ У. У том случају, x се назива лимес од Б, а Б се назива конвергентна база филтера.
Свака околина базе Н од x конвергира ка x.
- Ако је Н околина базе у x и C база филтера на X, онда C → x акко је C финија од Н.
- Ако Y ⊆ X, тачка п ∈ X се назива гранична тачка од Y у X акко свака околина У од п у X сече Y. То се дешава акко постоји база филтера подскупа од Y која конвергира ка п у X.
За Y ⊆ X, следеће је еквивалентно:
- (и) Постоји база филтера Ф чији елементи су сви садржани у Y таква да Ф → x.
- (ии) Постоји филтер Ф такав да је Y припада Ф и Ф → x.
- (иии) Тачка x се налази у затворењу од Y.

Заиста:

Из (и) следи (ии): ако је Ф база филтера која задовољава особину (и), онда филтер придружен Ф задовољава особину (ии).

Из (ии) следи (иии): ако је У произвољна отворена околина x онда по дефиницији конвергенције У садржи елемент из Ф; како је такође Y елемент из Ф, У и Y имају непразан пресек.

Из (иии) следи (и): Дефинишимо $F=\{U\cap Y\ |\ U\in N_{x}\}$ . Одавде је Ф база филтера која задовољава особину (и).

Груписање[уреди | уреди извор]

Нека је X тополошки простор и x тачка из X.

За базу филтера Б на X кажемо да се нагомилава у x (или је x тачка нагомилавања) акко Сваки елемент из Б има непразан пресек са сваком околином од x.
- Ако се база филтера Б нагомилава у x и финија је од базе филтера C, онда се C такође нагомилава у x.
- Сваки лимес базе филтера је такође тачка нагомилавања те базе.
- База филтера Б који има x као тачку нагомилавања не мора конвергирати каx, али постоји финија база филтера која хоће. На пример, база филтера коначног пресека скупова подбазе $B\cup N_{x}$ .
- За базу филтера Б, скуп ∩{цл(Б₀) : Б₀∈Б} је скуп свих тачака нагомилавања Б (затворење од Б₀ је цл(Б₀)). Претпоставимо да је X потпуна мрежа.
  - Лимес инфериор скупа Б је инфимум скупа свих тачака нагомилавања скупа Б.
  - Лимес супериор скупа Б је супремум скупа свих тачака нагомилавања скупа Б.
  - Б је конвергентна база филтера акко су њени лимес супериор и лимес инфериор једнаки; у том случају, та вредност представља лимес базе филтера.

Видите још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

^ Б.А. Давеy анд Х.А. Приестлеy (1990). Интродуцтион то Латтицес анд Ордер. Цамбридге Матхематицал Теxтбоокс. Цамбридге Университy Пресс.
^ Голдблатт, Р. Лецтурес он тхе Хyперреалс: ан Интродуцтион то Нонстандард Аналyсис. стр. 32.

Референце[уреди | уреди извор]

Ницолас Боурбаки, Генерал Топологy (Топологие Гéнéрале). ISBN 978-0-387-19374-8. (Цх. 1-4): Провидес а гоод референце фор филтерс ин генерал топологy (Цхаптер I) анд фор Цауцхy филтерс ин униформ спацес (Цхаптер II)
Степхен Wиллард, Генерал Топологy, (1970) Аддисон-Wеслеy Публисхинг Цомпанy, Реадинг Массацхусеттс. (Провидес ан интродуцторy ревиеw оф филтерс ин топологy.)
Давид МацИвер, Филтерс ин Аналyсис анд Топологy (2004) (Провидес ан интродуцторy ревиеw оф филтерс ин топологy анд ин метриц спацес.)
Буррис, Станлеy Н., анд Х.П. Санкаппанавар, Х. П., 1981. А Цоурсе ин Универсал Алгебра. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-90578-3..

[1] Б.А. Давеy анд Х.А. Приестлеy (1990). Интродуцтион то Латтицес анд Ордер. Цамбридге Матхематицал Теxтбоокс. Цамбридге Университy Пресс.

[2] Голдблатт, Р. Лецтурес он тхе Хyперреалс: ан Интродуцтион то Нонстандард Аналyсис. стр. 32.

[1]

[2]