Наивна теорија скупова
Наивна теорија скупова је теорија скупова у којој су скупови уведени користећи тзв. самоевидентни концепт скупова као колекција објеката сматраних целином.[1] Она представља почетну фазу у изградњи теорије скупова, и обухвата време кад је њен оснивач Георг Кантор објавио радове о теорији скупова 1871. године до појаве првих парадокса. Он се при изради није служио аксиомима, али су све теореме које је добио изводиве из три аксиома: екстензионалности, компрехензије и избора.[2]
У тој теорији скуп је примитиван појам који се као такав не дефини]е. Подразумева се да чилац већ има изграђену интуицију о појму скупа, односно да је скуп колекција објеката који заједно чине целину. Велики део теорије скупова Кантор је изградио на оваквом недефинираном и врло нејасном појму скупа. Консеквентно, кад је теорија постала призната, појавили су се парадокси. Појаве парадокса (који су се појавили Раселовим открићем парадокса) и нерешивих проблема у наивној теорији избјегаване су увођењем теорије типова, теорије класа и др. Слабе основе показале су потребу за аксиомима и Ернст Зермело је 1908. године предложио аксиоматизацију теорије, доказавши да се може добро уредити сваки скуп. Увођењем аксиома теорија се развила, те се настала аксиоматска теорија скупова.[2][3][4]
Скупови су од велике важности у математици; у модерним формалним третманима већина математичких објеката (бројеви, односи, функције, итд.) су дефинисани у смислу скупова. Наивна теорија скупова је довољна за многе сврхе, а уједно служи и као одскочна даска ка формалнијим третманима.
Метод[уреди | уреди извор]
Наïвна теорија у смислу „наивне теорије скупова” је неформализована теорија, односно теорија која користи природни језик за описивање скупова и операција на скуповима. Речи и, или, ако ... онда, не, за неке, за сваки се третирају као у обичној математици. Као погодност, употреба наивне теорије скупова и њен формализам преовлађују чак и у вишој математици - укључујући и формалније поставке саме теорије скупова.
Први развој теорије скупова била је наивна теорија скупова. Њу је креирао крајем 19. века Георг Кантор као део његове студије бесконачних скупова,[5] а развио ју је Готлоб Фреге у свом раду Begriffsschrift.
Наивна теорија скупова се може односити на неколико врло различитих појмова. То може бити
- Неформални приказ теорије аксиоматичних скупова, нпр. као у Наивној теорији скупова, Пола Халмоса.
- Ране или касније верзије Георг Канторове теорије и других неформалних система.
- Одлучно недоследне теорије (било аксиоматске или не), као што је теорија Готлоба Греге[6] која је произвела Раселов парадокс, те теорије Ђузепе Пеана[7] и Ричарда Дедекинда.
Парадокси[уреди | уреди извор]
Претпоставка да се било које својство може користити за формирање скупа, без ограничења, доводи до парадокса. Један чест пример је Раселов парадокс: не постоји скуп који се састоји од „свих скупова који не садрже себе”. Стога доследни системи наивне теорије скупова морају да садрже и нека ограничења у принципима који се могу користити за формирање скупова.
Канторова теорија[уреди | уреди извор]
Неки сматрају да Георг Канторова теорија скупова заправо није била умешана у скуповно-теоретске парадоксе (погледајте Frápolli 1991). Једна од потешкоћа да се то са сигурношћу утврди је што Кантор није пружио аксиоматизацију свог система. До 1899. године, Кантор је био свестан неких парадокса произашлих из неограниченог тумачења његове теорије, на пример, Канторовог парадокса[8] и Барали-Фортијевог парадокса,[9] и није сматрао да су они дискредитовали његову теорију.[10] Канторов парадокс може се извести из горње (погрешне) претпоставке - да се свако својство П(x) може користити за формирање скупа - узимајући да је П(x) x кардинални број. Фреге је експлицитно аксиоматизовао теорију у којој се може интерпретирати формализована верзија наивне теорије скупова, и управо је на ту формалну теорију Бертранд Расел реферирао када је изнео свој парадокс, а не нужно Канторову теорију.
Аксиоматске теорије[уреди | уреди извор]
Аксиоматска теорија скупова је развијена као одговор на ове ране покушаје разумевања скупова, са циљем да се прецизно одреди које су операције дозвољене и када.
Доследност[уреди | уреди извор]
Наивна теорија скупова није нужно неконзистентна, ако исправно наводи скупове које је дозвољено разматрати. Ово се може урадити помоћу дефиниција, које су имплицитни аксиоми. Могуће је експлицитно навести све аксиоме, као у случају Халмосове Наивне теорије скупова, која је заправо неформални приказ уобичајене аксиоматске Цермело–Френкелове теорије скупова. Она је „наивна“ у томе што су језик и нотације преузети из обичне неформалне математике, и по томе што се не бави са доследношћу или потпуношћу система аксиома.
Исто тако, аксиоматска теорија скупова није нужно конзистентна: није нужно ослобођена парадокса. Из Геделових теорема о непотпуности следи да се довољно компликован логички систем првог реда (који укључује најчешће аксиоматске теорије скупова) не може доказати као конзистентан унутар саме теорије – чак и ако је заправо конзистентан. Међутим, генерално се верује да су заједнички аксиоматски системи доследни; својим аксиомима искључују неке парадоксе, попут Раселовог парадокса. На основу Геделове теореме, једноставно није познато – и никада не може бити познато – да ли уопште нема парадокса у овим теоријама или у било којој теорији скупова првог реда.
Термин наивна теорија скупова се и данас користи у некој литератури да се односи на теорије скупова које су проучавали Фреге и Кантор, пре него на неформалне пандане модерне аксиоматске теорије скупова.
Корисност[уреди | уреди извор]
Избор између аксиоматског приступа и других приступа је углавном ствар погодности. У свакодневној математици најбољи избор може бити неформална употреба аксиоматске теорије скупова. Позивање на одређене аксиоме се обично јавља само када то захтева традиција, нпр. аксиом избора се често помиње када се користи. Исто тако, формални докази се јављају само када то оправдавају изузетне околности. Ова неформална употреба аксиоматске теорије скупова може имати (у зависности од нотације) управо изглед наивне теорије скупова као што је наведено у наставку. То је знатно лакше за читање и писање (у формулацији већине изјава, доказа и линија дискусије) и мање је подложно грешкама од строго формалног приступа.
Скупови, чланство и једнакост[уреди | уреди извор]
У наивној теорији скупова, скуп се описује као добро дефинисана колекција објеката. Ови објекти се називају елементи или чланови скупа. Објекти могу бити било шта: бројеви, људи, други скупови, итд. На пример, 4 је члан скупа свих парних целих бројева. Јасно је да је скуп парних бројева бесконачно велик; не постоји захтев да скуп буде коначан.
Дефиниција скупова сеже до Георга Кантора. Он је написао у свом чланку из 1915. године:[11]
“Унтер еинер 'Менге' верстехен wир једе Зусамменфассунг M вон бестиммтен wохлунтерсцхиеденен Објектен унсерер Ансцхауунг одер унсерес Денкенс (wелцхе дие 'Елементе' вон M генаннт wерден) зу еинем Ганзен.” – Георг Цантор
„Скуп је прикупљање у целину одређених, различитих објеката наше перцепције или наше мисли — који се називају елементи скупа.” – Георг Кантор
Референце[уреди | уреди извор]
- ^ Јефф Миллер wритес тхат наïве сет тхеорy (ас оппосед то аxиоматиц сет тхеорy) wас усед оццасионаллy ин тхе 1940с анд бецаме ан естаблисхед терм ин тхе 1950с. Ит аппеарс ин Херманн Wеyл'с ревиеw оф П. А. Сцхилпп (Ед). (1946). “Тхе Пхилосопхy оф Бертранд Русселл” Америцан Матхематицал Монтхлy, 53(4), п. 210 анд ин а ревиеw бy Ласзло Калмар. (1946). “Тхе Парадоx оф Клеене анд Россер”. Јоурнал оф Сyмболиц Логиц, 11(4), п. 136. (ЈСТОР). [1] Тхе терм wас латер популаризед ин а боок бy Паул Халмос (1960). Наïве Сет Тхеорy.
- ^ а б Природословно математички факултет у Загребу Архивирано на сајту Wayback Machine (24. јул 2019) Младен Вуковић: Теорија скупова; Загреб: Свеучилиште у Загребу, сијечањ 2015. стр . 2-3
- ^ Парадокс и контрадикција нису истозначнице. Парадокс представља тврдњу чији је доказ логички неупитан, али је интуитивно сама тврдња врло упитна.
- ^ Мац Лане, Саундерс (1971), „Цатегорицал алгебра анд сет-тхеоретиц фоундатионс”, Аxиоматиц Сет Тхеорy (Проц. Сyмпос. Пуре Матх., Вол. XIII, Парт I, Унив. Цалифорниа, Лос Ангелес, Цалиф., 1967), Амер. Матх. Соц., Провиденце, Р.I., стр. 231—240, МР 0282791. "Тхе wоркинг матхематицианс усуаллy тхоугхт ин термс оф а наïве сет тхеорy (пробаблy оне море ор лесс еqуивалент то ЗФ) ... а працтицал реqуиремент [оф анy неw фоундатионал сyстем] цоулд бе тхат тхис сyстем цоулд бе усед "наïвелy" бy матхематицианс нот сопхистицатед ин фоундатионал ресеарцх" (п. 236).
- ^ Цантор 1874
- ^ Фреге 1893 Ин Волуме 2, Јена 1903. пп. 253-261 Фреге дисцуссес тхе антиономy ин тхе афтерwорд.
- ^ Пеано 1889 Аxиом 52. цхап. IV продуцес антиномиес.
- ^ Леттер фром Цантор то Давид Хилберт он Септембер 26, 1897, Месцхкоwски & Нилсон 1991, стр. 388.
- ^ Леттер фром Цантор то Рицхард Дедекинд он Аугуст 3, 1899, Месцхкоwски & Нилсон 1991, стр. 408.
- ^ Леттерс фром Цантор то Рицхард Дедекинд он Аугуст 3, 1899 анд он Аугуст 30, 1899, Зермело 1932, стр. 448 (Сyстем аллер денкбарен Классен) анд Месцхкоwски & Нилсон 1991, стр. 407. (Тхере ис но сет оф алл сетс.)
- ^ Беитрäге зур Бегрüндунг дер трансфинитен Менгенлехре
Литература[уреди | уреди извор]
- Боурбаки, Н., Елементс оф тхе Хисторy оф Матхематицс, Јохн Мелдрум (транс.), Спрингер-Верлаг, Берлин, Германy, 1994.
- Цантор, Георг (1874), „Уебер еине Еигенсцхафт дес Инбегриффес аллер рееллен алгебраисцхен Захлен”, Ј. Реине Ангеw. Матх., 77: 258—262, дои:10.1515/црлл.1874.77.258, Сее алсо пдф версион:
- Марíа Ј. Фрáполли|Фрáполли, Марíа Ј., 1991, "Ис Цанториан сет тхеорy ан итеративе цонцептион оф сет?". Модерн Логиц, . 1 (4). 1991: 302—318. Недостаје или је празан параметар
|титле=(помоћ). - Фреге, Готтлоб (1893), Грундгесетзе дер Аритхметик, 1, Јена 1893.
- Халмос, Паул, Наïве Сет Тхеорy. Принцетон, Њ: D. Ван Ностранд Цомпанy, 1960. Репринтед бy Спрингер-Верлаг, Неw Yорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Спрингер-Верлаг едитион). Репринтед бy Мартино Фине Боокс, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Папербацк едитион).
- Јецх, Тхомас (2002). Сет тхеорy, тхирд милленниум едитион (ревисед анд еxпандед). Спрингер. ИСБН 3-540-44085-2.
- Келлеy, Ј.L., Генерал Топологy, Ван Ностранд Реинхолд, Неw Yорк, НY, 1955.
- ван Хеијеноорт, Ј., Фром Фреге то Гöдел, А Соурце Боок ин Матхематицал Логиц, 1879-1931, Харвард Университy Пресс, Цамбридге, МА, 1967. Репринтед wитх цоррецтионс, 1977. ISBN 0-674-32449-8.
- Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors., Berlin: Springer, ISBN 3-540-50621-7
- Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita, Turin 1889.
- Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author., Berlin: Springer
- Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
- Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory
, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6 - Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (2nd изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4, doi:10.1007/978-1-4612-0903-4[мртва веза]
- Ferreirós, Jose (2001), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics, Berlin: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
- Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
- Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-191-55643-2
- Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory and the Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
- Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
- Rudin, Walter B. (6. 4. 1990). „Set Theory: An Offspring of Analysis”. Marden Lecture in Mathematics. University of Wisconsin-Milwaukee. Архивирано из оригинала 14. 10. 2022. г. Приступљено 26. 06. 2023 — преко YouTube.
Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]
- Beginnings of set theory page at St. Andrews
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)
- Даниел Цуннингхам, Сет Тхеорy артицле ин тхе Интернет Енцyцлопедиа оф Пхилосопхy.
- Јосе Ферреирос, "Тхе Еарлy Девелопмент оф Сет Тхеорy" артицле ин тхе [Станфорд Енцyцлопедиа оф Пхилосопхy].
- Фореман, Маттхеw, Акихиро Канамори, едс. Хандбоок оф Сет Тхеорy. 3 волс., 2010. Еацх цхаптер сурвеyс соме аспецт оф цонтемпорарy ресеарцх ин сет тхеорy. Доес нот цовер естаблисхед елементарy сет тхеорy, он wхицх сее Девлин (1993).
- Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Аxиоматиц сет тхеорy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
- Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Сет тхеорy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
- Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
- Online books, and library resources in your library and in other libraries about set theory