Ортогоналности у математици

Ортогоналност је један од најфреквентнијих појмова у разним областима математике. Скоро да нема области у којој се “ортогоналност” не појављује као одређена релација у скупу свих објеката одређене врсте. Овде је, наравно, немогуће поменути све дефиниције и сва тврђења у математици у којима се користе придеви “ортогоналан-а”. Поменућемо само неке дефиниције.

У свим геометријама почевши од еуклидске геометрије, аналитичке геометрије, диференцијабилне геометрије до Риманових многострукости ортогоналност вектора је стандардан појам, без кога можда и не би било тих геометрија.

Основне тригонометријске функције су дефинисане преко ортогоналности (користећи правоугли троугао), па се цела тригонометрија ослања на на те дефиниције.

У математичкој анализи су стандардне теме: ортогонални низови, ортогонални полиноми, ортогонални метод при приближном решавању диференцијалних једначина, Фуријеова анализа сва базира на појму ортогоналности вектора у еуклидском простору.

У функционалној анализи, посебно у Хилбертовим просторима: ортогонална разлагања, Грам-Шмитов поступак ортогонализације, пројективни оператори, разни ортонормирани системи низова (Харов, Радемахеров, Франклинов итд.), најбоље апроксимације, чак у нееуклидским просторима, у метричким просторима дефинисане су помоћу појма оптималности итд.

У алгебри постоје: ортогоналне матрице, ортогоналне групе, ортогонално пресликавање, ортогонални аутоморфизам итд.

Појам ортогоналности

Реч “ортогоналан” потиче од грчког префикса орто (“ортхос”- прав, прави, исправан, правилан, управан) и грчке речи гониа (“гониа“-угао). Ортогон је правоугаоник. Отуда су код нас устаљене речи: ортоцентар, ортографија-правилно писање, ортодоксан-правоверан, правилан; ортопедија-лечење искривљености кичме и тд.

У савременој терминологији, на нашем језику а и на страним језицима, имамо више термина за појам ортогоналности два вектора: “вектор гради прав угао са вектором ”, ”вектор је ортогоналан на вектор ”, “вектор је управан на вектор ”, “вектор је вертикалан на вектор ” и тд.

Вертикалност према тлу (усправност) и земљина тежа могу се гледати као основне карактеристике оријентације у простору, свих живих бича (човека, животиње, биљке). Дакле, човек је вероватно спознао вертикалност према тлу, много раније него је имао потребу да користи појам правог угла.

Историјски осврт

А појам правог угла је присутан у најстаријим цивилизацијама. На пример, записано је да су, средином првог миленијума п.н.е. Индуси имали упутства за конструисање квадрата и правоугаоника. Верује се да су древни Вавилонци знали Питагорину теорему, пре Питагоре. А поуздано се зна да је ту теорему доказао сам Питагора. Колики је значај те теореме за развој развој математике. Један Питагорин ученик је установио несамерљивост странице квадрата и његове дијагонале. Тако је установљено да скуп дужина дужи шири од скупа ненегативних рационалних бројева. То је потакло математичаре да комплетирају скуп рационалних бројева, односно да дефинишу скуп реалних бројева, на коме изграђена целокупна зграда математике.

Ортогоналност као оптималност

Прави смисао појма ортогоналности је виши појам од појма правог угла. Наиме, основни смисао ортогоналности јесте да се њоме изражава одређена оптималност. Обично се у настави тај смисао не истиче, већ се говори само о правом углу, што није добро. У ствари, та оптималност у простору се исказује следећим тврђењем (види слику):

x

Најједноставније речено, катета није већа од хипотенузе. Ова особина је омогућила америчком математичару Биркофу да 1934. дефинише ортогоналност вектора у нормираним просторима, у којима немамо скаларни производ. До тада је ортогоналност била присутна само у Хилбертовим просторима. Осим тога, на овом тврђењу је направљена веома плодна област математике-теорија најбољих апроксимација.