Поасонова расподела

Поасонова расподела

Функција вероватноће Хоризонтална оса је индекс k, број појава. λ је очекивани број појава, који не море да буде цео број. Вертикална оса је вероватноћа за k појава за дато λ. Функција је дефинисана само за целе бројеве од k. Повезујуће линије су само водичи за око.
Функција кумулативне расподеле Хоризонтална оса је индекс k, број појава. ЦДФ је дисконтинуирана у целим бројевима од k и равна свугде другде јер променљива која следи Поасонову расподелу може да има само целобројне вредности.
Нотација	$\operatorname {Pois} (\lambda )$
Параметри	$\lambda >0,$ (реално) — стопа
Носитељ	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
пмф	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
ЦДФ	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}$, или $e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$, или $Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (за $k\geq 0$, где је $\Gamma (x,y)$ горња непотпуна гама функција, $\lfloor k\rfloor$ је подна функција, и Q је регулисана гама функција)
Просек	$\lambda$
Медијана	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Модус	$\lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor$
Варијанса	$\lambda$
Коеф. асиметрије	$\lambda ^{-1/2}$
Куртоза	$\lambda ^{-1}$
Ентропија	$\lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ (за велико $\lambda$) ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{}$ $\qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$
МГФ	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
ЦФ	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$
ПГФ	$\exp(\lambda (z-1))$
Фишерова информација	${\frac {1}{\lambda }}$

У теорији вероватноће и статистици Поасонова расподела, која је названа по француском математичару Симеону Поасону, јесте дискретна расподела вероватноће која изражава вероватноћу да се одређени број догађаја догодио у фиксном интервалу времена или простора ако се ти догађаји догађају са познатом константном брзином и независно од времена од последњег догађаја. Поасонова дистрибуција се такође може користити за број догађаја у другим видовима интервала, као што су удаљеност, површина или запремина.

На пример, појединац који прати количину поште коју добија сваки дан може приметити да прими у просеку 4 писма дневно. Ако примање било којег писма не утиче на време доласка будућих комада поште, тј. ако писма од широког спектра извора долазе независно једно од другог, онда је разумна претпоставка да се број примљених комада поште у дану покорава Поасоновој дистрибуцији. Остали примери који могу следити Поасонову дистрибуцију укључују број телефонских позива које је примио позивни центар на сат и број догађаја распада у секунди из радиоактивног извора.

Историја

Ову дистрибуцију је увео Симеон Поасон (1781–1840). Она је објављена заједно са његовом теоријом вероватноће 1837. године у његовом раду под насловом „Истраживање вероватноће пресуда у кривичним и грађанским стварима” (Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile). Рад је теоретизирао о броју погрешних пресуда у датој земљи фокусирајући се на одређене рандомне променљиве N које између осталог рачунају број дискретних појава (које се понекад називају „догађаји” или „доласци”) који се дешавају током времена - интервала дате дужине. Резултат је претходно дао Абрам де Моавр (1711) у раду с насловом De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus у Филозофским трансакцијама Краљевског друштва, стр. 219. То га чини примером Стиглеровог закона и неки аутори суматрају да би Поасонова дистрибуција требало да носи име де Моавра.

Практичну примену ове расподеле описао је Владислав Борткевич 1898. године, када је добио задатак да истражи број војника у пруској војсци који су случајно убијени коњским ударцима; овај експеримент је увео Поасонову дистрибуцију у поље инжењерства поузданости.

Дефиниција

За дискретну рандомну променљиву X  се каже да има Поасонову дистрибуцију са параметром λ > 0, ако је за к = 0, 1, 2, ..., функција вероватноће од X  дата са:

$\!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$

где је

• е је Ојлеров број (е = 2.71828...)
• k! је факторијел од k.

Позитивни реални број λ је једнак са очекиваном вредности од X и такође са његовом варијансом

$\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).$

Поасонова расподела се може применити на системе са великим бројем могућих догађаја, сваки од којих је редак. Колико ће се таквих догађаја догодити у одређеном временском интервалу? Под адекватним околностима, ово је случајни број са Поасоновом расподелом.

Конвенционална дефиниција Поасонове дистрибуције садржи два члана која лако могу бити преплављени на рачунарима: λ^k и k!. Фракција од λ^k до k! такође може да произведе грешку заокруживања која је врло велика у поређењу са е^−λ, и стога даје погрешан резултат. Ради нумеричке стабилности, функцију Поасонове вероватноће треба израчунавати као

$\!f(k;\lambda )=\exp \left\{{k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)}\right\},$

што је математички еквивалентно и нумерички стабилно. Природни логаритам гама функције се може добити користећи lgamma функцију у C стандардној библиотеци (Ц99 верзија) или у Р језику, gammaln функцију у МАТЛАБу или СциПy, или log_gamma функцију у Фортрану 2008 и каснијим.

Особине

Описна статистика

• Очекивана вредност и варијанса Поасонски-расподељене рандомне променљиве су оба једнака λ.
• Коефицијент варијације је $\textstyle \lambda ^{-1/2}$, док је индекс дисперзије 1.
• Средња апсолутна девијација око средње вредности је

$\operatorname {E} [|X-\lambda |]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.$

• Модус Поасонски-расподељене рандомне променљиве са нецелобројним λ је једнак $\scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor$, што је највећи цео број мањи или једнак од λ. Ово се исто тако записује као флоор(λ). Кад је λ позитивни цео број, модуси су λ и λ − 1.
• Сви кумуланти Поасонове расподеле једнаки су очекиваној вредности λ. n-ти факторијални моменат Поасонове расподеле је λⁿ.
• Очекивана вредност Поасоновог процеса понекад се разлаже на производ интензитета и изложености (или општије изражава се као интеграл „функције интензитета” током времена или простора, понекад описивана као „изложеност”).

Медиана

Границе за медијану ($\nu$) расподеле су познате и оштре су:

$\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.$

Виши моменти

• Виши моменти m_k Поасонове расподеле око координатног почетка су Тишардови полиноми у λ:

$m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\},$

где витичасте заграде означавају Стирлингове бројеве друге врсте. Коефицијенти полинома имају комбинаторијално значење. Заправо, када је очекивана вредност Поасонове расподеле 1, тада формула Добинског налаже да је n-ти моменат једнак броју партиција скупа величине n.

За нецентриране моменте се дефинише $B=k/\lambda$, и тада је

$E[X^{k}]^{1/k}\leq C\cdot {\begin{cases}k/B&{\text{if}}\quad B<e\\k/\log B&{\text{if}}\quad B\geq e\end{cases}}$

при чему је $C$ апсолутна константа већа од 0.

Суме Поасон-расподељених случајних променљивих

Ако су $X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})$ за $i=1,\dotsc ,n$ независни, онда је $\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)$. Супротна је Рајкова теорема, која наводи да ако је сума две независне рандомне променљиве доследна Поасоновој расподели, онда је свака од њих независна рандомна променљива.

Литература

• Ахренс, Јоацхим Х.; Диетер, Улрицх (1974). „Цомпутер Метходс фор Самплинг фром Гамма, Бета, Поиссон анд Биномиал Дистрибутионс”. Цомпутинг. 12 (3): 223—246. дои:10.1007/БФ02293108. 
• Ахренс, Јоацхим Х.; Диетер, Улрицх (1982). „Цомпутер Генератион оф Поиссон Девиатес”. АЦМ Трансацтионс он Матхематицал Софтwаре. 8 (2): 163—179. дои:10.1145/355993.355997. 
• Еванс, Роналд Ј.; Боерсма, Ј.; Блацхман, Н. M.; Јагерс, А. А. (1988). „Тхе Ентропy оф а Поиссон Дистрибутион: Проблем 87-6”. СИАМ Ревиеw. 30 (2): 314—317. дои:10.1137/1030059. 
• Кнутх, Доналд Е. (1969). Семинумерицал Алгоритхмс. Тхе Арт оф Цомпутер Программинг. 2. Аддисон Wеслеy. 
• Сханмугам, Рамалингам (2013). „Информатицс абоут феар то репорт рапес усинг бумпед-уп Поиссон модел”. Америцан Јоурнал оф Биостатистицс. 3 (1): 17—29. дои:10.3844/амјбсп.2013.17.29. 

Спољашње везе

• Цларке, Р. D., Ф.I.А. „Ан Апплицатион оф тхе Поиссон Дистрибутион” (ПДФ). Институте анд Фацултy оф Ацтуариес. Приступљено 7. 7. 2019.