Apelov niz

Apelov niz predstavlja niz polinoma, koji zadovoljavaju identitet:

${d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),$

Dobili su ime po francuskom matematičaru Paulu Apelu. Pored trivijalnoga primera { xⁿ } u Apelov niz spadaju između ostalih Ermiteovi polinomi, Lagerovi polinomi, Bernulijevi polinomi i Ojlerovi polinomi.

Ekvivalentni uslovi

Postoji više ekviuvalentnih uslova za Apelov niz:

• Za n = 1, 2, 3, ..,

${d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)$

i p₀(x) je konstanta različita od nule;

• Za neke nizove {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} uz 'c₀ ≠ 0,

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};$

• Za iste nizove skalara,

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},$

gde je

$D={d \over dx};$

• Za n = 0, 1, 2, ..,

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.$

Rekurzija

Pretpostavimo

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},$

gde poslednja jednakost definiše linearni operator S na prostoru polinoma po x. Neka je inverzni operator:

$T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}$

Tada su a_k recipročni koeficijenti, tako da je

$Tp_{n}(x)=x^{n}.\,$

Može da se definiše:

$\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)$

koristeći uobičajen razvoj funkcije log(1 + x), pa se dobija:

$p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,$

Podgrupa Šeferovih polinoma

Skup svih Apelovih nizova zatvoren je za operacije umbral kompozicije nizova polinoma. Prepostavimo da su zadana dva polinomna niza { p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } i { q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } i da su dana sa:

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{i}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$

Onda je umbral kompozicija p o q polinomni niz čiji je n-ti član dan sa:

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq k\leq \ell \leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

Šeferov niz je nekomutativna grupa, tj nije Abelova grupa. Međutim skup svih Apelovih nizova je Abelova podgrupa Šiferove grupe.

Literatura

• Apelovi polinomi
• Paul Appell, "Sur une classe de polynômes", Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2e série, tome 9, 1880
• Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, (1978)
• G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975
• Steven Roman, The Umbral Calculus. Dover Publications
• Theodore Seio Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York. 1978. ISBN 978-0-677-04150-6.