Apsolutna vrednost

Grafik funkcije apsolutne vrednosti

U matematici, apsolutna vrednost (ili moduo) realnog broja je njegova numerička vrednost ne uzimajući u obzir znak tog broja.

Npr. brojevi 3 i −3 imaju apsolutnu vrednost 3, apsolutna vrednost broja 5 je 5, broja −4 je 4, dok je 0 apsolutna vrednost samo za broj 0.

Definicija

Za bilo koji realan broj a, apsolutna vrednost, označava se |a|, je jednaka broju a ako je a ≥ 0, i −a ako je a < 0. $|a|=\left\{{\begin{matrix}a,&a\geq 0\\-a,&a<0\end{matrix}}\right.$

|a| ne može biti negativan broj jer je apsolutna vrednost uvek ili pozitivan broj ili 0. Drugim rečima, nejednačina |a| < 0 nema rešenja. Takođe, ne mora važiti |−a| = a, pošto a može biti negativno.

Apsolutna vrednost se može razumeti kao udaljenost datog broja od nule.

Svojstva

Apsolutna vrednost broja a ima sledeća svojstva:

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 ako i samo ako a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (ako je b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| (nejednakost trougla)
6. |a−b| ≥ ||a| − |b||
7. $\left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}$
8. |a| ≤ b ako i samo ako −b ≤ a ≤ b
9. |a| ≥ b ako i samo ako a ≤ −b ili b ≤ a

Poslednja dva svojstva su korisna pri rešavanju nejednačina, npr:

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12.

Za realnu vrednost argumenta, funkcija f(x) = |x| je neprekidna svuda, a diferencijabilna svuda osim za x = 0. Ukoliko je argument kompleksna promenljiva, funkcija je neprekidna svuda, ali nije nigde holomorfna (odnosno diferencijabilna; jedan način da se to vidi je da se dokaže da ne zadovoljava Koši-Rimanove jednačine).

Za kompleksni broj z = a + ib, definiše se moduo kompleksnog broja kao |z| = √(a² + b²) = √ (z z^*) (pogledati kvadratni koren i Konjugovan kompleksan broj). Ovako definisan moduo kompleksnog broja zadovoljava svojstva 1-6 data iznad. Opet se moduo kompleksnog broja, kao i za realne brojeve, može razumeti kao udaljenost od koordinatnog početka.

Često je korisno izraz |x − y| posmatrati kao rastojanje između x i y (na realnoj brojevnoj pravoj ukoliko su x i y realni brojevi, ili, pak, u kompleksnoj ravni, ukoliko su x i y kompleksni brojevi). Korišćenjem ovakve definicije, i skup realnih, i skup kompleksnih brojeva postaju metrički prostori.

Funkcija nije invertibilna jer se svakom broju a i njegovom opozitu −a dodeljuju iste vrednosti.

Apsolutna vrednost kompleksnog broja

Apsolutna vrednost kompleksnog broja (takođe zvana i moduo kompleksnog broja) $c\in \mathbb {C}$ je data kao $|c|={\sqrt {c\,{\overline {c}}}}$, gde je ${\overline {c}}$ konjugovana vrednost broja $c$. Pisanjem $c$ kao $c=a+b\,i$ za $a,b\in \mathbb {R}$, gornja jednačina se svodi na $|c|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Apsolutna vrednost vektora

Apsolutna vrednost vektora v = (x₁, x₂,..., x_n) u Euklidskom prostoru Rⁿ data je kao

$\left|\mathbf {v} \right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}$.

|v| se može smatrati dužinom vektora v.

Algoritam

U C programskom jeziku, abs(), labs(), llabs() (u C99), fabs(), fabsf(), i fabsl() funkcije računaju apsolutnu vrednost njihovog argumenta. Kodiranje apsolutne vrednosti kada je argument ceo broj je lako:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}