Инверзна функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Функција ƒ и њена инверзна ƒ–1. Како ƒ пресликава a у 3, инверзна функција ƒ–1 пресликава 3 назад на a.

У математици, ако функција ƒ пресликава скуп A на скуп B, онда је њена инверзна функција ƒ-1 таква да пресликава скуп B на скуп A и то тако да сложена функција пресликава сваки елемент скупа A на самог себе. Нема свака функција своју инверзну, она која има се зове инверзибилна.

Нпр., ако је дата функција ƒ таква да даје дужину у миљама ако је дата дужина у метрима (ƒ(x) = 1,6 · x), онда њена инверзна функција g = ƒ-1 даје дужину у метрима ако је позната дужина у миљама (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност[уреди]

  1. Како функција мора да пресликава оригинал у само једну слику, то функција која није инјективна не може имати инверзну.
  2. С друге стране, ако се опсег функције није идентичан њеном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике неће бити дефинисано пресликавање ƒ-1.

Зато можемо рећи да је функција инверзибилна акко је бијекција.

Нпр. фукција није ни инјективна (јер позитивни и негативни бројеви имају исту слику), ни сурјективна (јер је ранг , а не читав кодомен ). Иста функција, али дефинисана као има инверзну функцију . Функција има инверзну, а нема јер није инјективна ().

Особине[уреди]

Симетрија[уреди]

Нека је id функција идентитета idX = x. Тада важи

односно .

Инверзна функција сложене функције[уреди]

При инверзији композиције функција, основне функције мењају редослед:

Аутоинверзија[уреди]

Функција идентитета је инверзна сама себи:

Графичко представљање[уреди]

Функција и њена инверзна функција су симетричне у односу на праву .

Извод инверзне функције[уреди]

Ако је почетна функција диференцијабилна, онда се за све тачке у којима важи следећа формула за извод инверзне функције:

Обележавање[уреди]

Важно је уочити да -1 у означавању инверзне функције није ознака за експонент. Заправо се записује као ƒ(x)-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ƒ(n) означава n-ти извод функције:

У тригонометрији, из историјских разлога, а не , али је , а не . Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометријске функције користи се ознака arc, а за реципрочне потпуно друга имена (). .

Литература[уреди]

Види још[уреди]