Инверзна функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Функција ƒ и њена инверзна ƒ–1. Како ƒ пресликава a у 3, инверзна функција ƒ–1 пресликава 3 назад на a.

У математици, ако функција ƒ пресликава скуп A на скуп B, онда је њена инверзна функција ƒ-1 таква да пресликава скуп B на скуп A и то тако да сложена функција f \circ f^{-1} пресликава сваки елемент скупа A на самог себе. Нема свака функција своју инверзну, она која има се зове инверзибилна.

Нпр., ако је дата функција ƒ таква да даје дужину у миљама ако је дата дужина у метрима (ƒ(x) = 1,6 · x), онда њена инверзна функција g = ƒ-1 даје дужину у метрима ако је позната дужина у миљама (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност[уреди]

  1. Како функција мора да пресликава оригинал у само једну слику, то функција која није инјективна не може имати инверзну.
  2. С друге стране, ако се опсег функције није идентичан њеном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике неће бити дефинисано пресликавање ƒ-1.

Зато можемо рећи да је функција инверзибилна акко је бијекција.

Нпр. фукција f(x)=x^2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} није ни инјективна (јер позитивни и негативни бројеви имају исту слику), ни сурјективна (јер је ранг \mathbb{R}^+, а не читав кодомен \mathbb{R}). Иста функција, али дефинисана као \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ има инверзну функцију \sqrt{x}. Функција f(x)=x^3\,\! има инверзну, а f(x)=x^3-x\,\! нема јер није инјективна (f(0)=f(1)=0\,\!).

Особине[уреди]

Симетрија[уреди]

Нека је id функција идентитета idX = x. Тада важи

\begin{align}
f \circ f^{-1} = id_X \\
f^{-1} \circ f = id_Y
\end{align}

односно (f^{-1})^{-1} = f\,\!.

Инверзна функција сложене функције[уреди]

При инверзији композиције функција, основне функције мењају редослед:

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

Аутоинверзија[уреди]

Функција идентитета је инверзна сама себи:

id_X^{-1} = id_X\,\!

Графичко представљање[уреди]

Функција и њена инверзна функција су симетричне у односу на праву y=x\,\!.

Извод инверзне функције[уреди]

Ако је почетна функција диференцијабилна, онда се за све тачке у којима f(x) \neq 0\,\! важи следећа формула за извод инверзне функције:

\frac{d}{dy}\left[ f^{-1}(y) \right] = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}.

Обележавање[уреди]

Важно је уочити да -1 у означавању инверзне функције није ознака за експонент. Заправо \tfrac{1}{f(x)} се записује као ƒ(x)-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ƒ(n) означава n-ти извод функције:

f^{(n)}(x) = \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x).

У тригонометрији, из историјских разлога, \sin^2 x = (\sin x)^2\,\! а не \sin (\sin x)\,\!, али је \sin^{-1} x = \arcsin x\,\!, а не \tfrac{1}{\sin x}. Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометријске функције користи се ознака arc, а за реципрочне потпуно друга имена (\tfrac{1}{\sin x} = \csc x). .

Литература[уреди]

Види још[уреди]