Beta-funkcija

U matematici, beta-funkcija, poznata i kao Ojlerov integral prve vrste, je specijalna funkcija dva kompleksna argumenta, definisana za $\Re (x),\Re (y)>0$ integralom

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.$

Dokazuje se da se beta-funkcija može izraziti u zavisnosti od gama-funkcije kao

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},$

odakle se dalje izvode sva njena svojstva. Posebno, za prirodne brojeve m i n je

${\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}={\frac {mn}{m+n}}{{m+n} \choose {m}},$

tako da se može reći da beta-funkcija uopštava binomne koeficijente. Gornja osnovna relacija daje i analitičko produženje beta-funkcije do meromorfne funkcije, definisane za sve kompleksne brojeve x i y, osim polova kad god je jedan od brojeva x, y, ili $x+y$ nepozitivan ceo broj.

Beta-funkcija je očigledno simetrična, odnosno $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$. Druga važna svojstva su trigonometrijski oblik

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,d\theta$

i alternativni integralni oblik

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt.$

Kao i binomni koeficijenti, i beta-funkcija zadovoljava niz rekurentnih jednakosti, na primer $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x+1,y)+\mathrm {B} (x,y+1)$.

Beta-funkcija je od velikog značaja u Matematičkoj Analizi, Verovatnoći i statistici, Teoriji Brojeva, Kombinatorici i drugim oblastima Matematike, te u Fizici, tehnici i drugim oblastima.

Sa apstraktne algebarske tačke gledišta, integral kojim se definiše beta-funkcija predstavlja aditivnu konvoluciju dva multiplikativna karaktera polja realnih brojeva ${\mathbb {R} }$. Na taj način svoju beta-funkciju ima, na primer, svako normirano lokalno polje.

Vidi još: nepotpuna beta-funkcija.

Dokaz relacije $\mathrm {B} (x,y)=\Gamma (x)\Gamma (y)/\Gamma (x+y)$

Prema definiciji gama-funkcije, imamo

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }e^{-v}v^{y-1}\,dv.$

Ovaj dvostruki–ponovljeni integral po ${\mathbb {R} }^{+}$, možemo prema Fubinijevoj teoremi zameniti dvojnim po ${\mathbb {R} }^{+}\times {\mathbb {R} }^{+}$, u kojem zatim uvodimo smenu $w=u+v$. Koristeći ponovo Fubinijevu teoremu da zamenimo dvojni integral ponovljenim, sada po novim promenljivim u i w, dobijamo

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}\left(\int _{0}^{w}u^{x-1}(w-u)^{y-1}\,du\right)\,dw,$

Konačno, uvođenjem smene $u=wt$ u unutrašnjem integralu, sledi

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}w^{x+y-1}\,dw\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).$