U matematici, beta-funkcija, poznata i kao Ojlerov integral prve vrste, je specijalna funkcija dva kompleksna argumenta, definisana za
integralom
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc5e96de265cc05f1099bd2fe5d212e41a74081)
Dokazuje se da se beta-funkcija može izraziti u zavisnosti od gama-funkcije kao
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fd6dbe52d6bd3daba0a8c254c8e72bed238a37)
odakle se dalje izvode sva njena svojstva. Posebno, za prirodne brojeve m i n je
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}={\frac {mn}{m+n}}{{m+n} \choose {m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e173115fd27efdac3bd81da5fb774d0e7f7d2ee1)
tako da se može reći da beta-funkcija uopštava binomne koeficijente. Gornja osnovna relacija daje i analitičko produženje beta-funkcije do meromorfne funkcije, definisane za sve kompleksne brojeve x i y, osim polova kad god je jedan od brojeva x, y, ili
nepozitivan ceo broj.
Beta-funkcija je očigledno simetrična, odnosno
. Druga važna svojstva su trigonometrijski oblik
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5dc9fdb6db11d007a6d7fcc58efc2ac61b5e73)
i alternativni integralni oblik
Kao i binomni koeficijenti, i beta-funkcija zadovoljava niz rekurentnih jednakosti, na primer
.
Beta-funkcija je od velikog značaja u Matematičkoj Analizi, Verovatnoći i statistici, Teoriji Brojeva, Kombinatorici i drugim oblastima Matematike, te u Fizici, tehnici i drugim oblastima.
Sa apstraktne algebarske tačke gledišta, integral kojim se definiše beta-funkcija predstavlja aditivnu konvoluciju dva multiplikativna karaktera polja realnih brojeva
. Na taj način svoju beta-funkciju ima, na primer, svako normirano lokalno polje.
Vidi još: nepotpuna beta-funkcija.
Dokaz relacije
[uredi | uredi izvor]
Prema definiciji gama-funkcije, imamo
Ovaj dvostruki–ponovljeni integral po
, možemo prema Fubinijevoj teoremi zameniti dvojnim po
, u kojem zatim uvodimo smenu
. Koristeći ponovo Fubinijevu teoremu da zamenimo dvojni integral ponovljenim, sada po novim promenljivim u i w, dobijamo
![{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}\left(\int _{0}^{w}u^{x-1}(w-u)^{y-1}\,du\right)\,dw,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8318bf4d084e0a18d0eda1b8e4bed912a425c8)
Konačno, uvođenjem smene
u unutrašnjem integralu, sledi