Гама-функција

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Гама-функција на интервалу реалне осе.

У математици, гама-функција је функција дефинисана несвојственим интегралом:

Из парцијалне интеграције и израчунавања интеграла за , добија се израз

који проширује појам факторијелa на комплексне бројеве.[1]

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Гама-функција дефинисана је несвојственим интегралом за комплексне бројеве за које је на следећи начин:

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције . Парцијалним интеграљењем се показује следеће њено основно својство:

Како је , комбиновањем ове и претходне релације добија се:

за све природне бројеве n.

Са друге стране, формулисана у облику

,

она даје аналитичко продужење почетно дефинисаној -функцији до полуравни , са полом у , затим до полуравни , са још једним полом у , итд. Тако се -функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве осим полова у непозитивним целим бројевима Под -функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.

Основна својства[уреди | уреди извор]

Гама-функција није елементарна функција, али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са факторијелом и примене у теорији бројева. Међу најважнијима особинама Гама-функције су функционална једначина

и Лежандрова дупликациона формула

Гама-функција нема нула. У тачкама , где је ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком ; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике , вредности даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

Модул гама-функције комплексног аргумента

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције , која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика


Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је , што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за (). За и је познато да су трансцендентни, као и . Такође, .

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке и . Тако је , док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

Историјат[уреди | уреди извор]

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

Уопштења и везе са другим функцијама[уреди | уреди извор]

У интегралу којим се дефинише -функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.


Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види још Риманова зета-функција.

Апроксимације[уреди | уреди извор]

Упоређивање гама функције (плава линија) са факторијелом (плаве тачке) и Стирлинговом апроксимацијом (црвена линија)

Комплексне вредности гама функције могу се израчунати нумерички са произвољном прецизношћу користећи Стирлингову апроксимацију или Ланцошову апроксимацију.

Гама функција се може израчунати са фиксном прецизношћу за применом парцијалне интеграције у Ојлеровом интегралу. За било који позитивни број x може се написати гама функција

Кад је Re(z) ∈ [1,2] и , апсолутна вредност задњег интеграла је мања од . Одабиром довољно великог , овај последњи израз може се учинити мањим од за било коју жељену вредност . Тако се гама функција може проценити на бита прецизности са горенаведеном серијом.

Е.А. Каратсуба је конструисао брз алгоритам за израчунавање Ојлерове гама функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационални).[2][3][4]

За аргументе који су целобројни умношци од 1/24, гама функција се такође може брзо проценити коришћењем аритметичко-геометријских средњих вредности итерација (погледајте посебне вредности гама функције и Borwein & Zucker (1992)).

Апликације[уреди | уреди извор]

Један аутор описује гама функцију као „Аргументирано, најчешћу специјалну функцију, или најмање 'посебну' од њих. Друге трансценденталне функције […] називају се 'посебне', јер бисте неке од њих могли избећи држањем подаље од многих специјализованих математичких тема. Са друге стране, гама функцију y = Γ(x) је најтеже избећи.”[5]

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ О Гама функцији, белешке са предавања 1995. године Архивирано на сајту Wayback Machine (2. мај 2014), Универзитет у Олбани, Њујорк, Приступљено: 2.5.2014.
  2. ^ E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp. 339–360 (1991).
  3. ^ E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246–247 (1991).
  4. ^ E.A. Karatsuba "Fast Algorithms and the FEE Method"
  5. ^ Michon, G. P. "Trigonometry and Basic Functions Архивирано 9 јануар 2010 на сајту Wayback Machine". Numericana. Retrieved May 5, 2007.

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]