Гама-функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Гама-функција на интервалу реалне осе.

У математици, гама-функција је функција дефинисана несвојственим интегралом:

Из парцијалне интеграције и израчунавања интеграла за , добија се израз

који проширује појам факторијелa на комплексне бројеве.[1]

Дефиниција[уреди]

Гама-функција дефинисана је несвојственим интегралом за комплексне бројеве за које је на следећи начин:

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције . Парцијалним интеграљењем се показује следеће њено основно својство:

Како је , комбиновањем ове и претходне релације добија се:

за све природне бројеве n.

Са друге стране, формулисана у облику

,

она даје аналитичко продужење почетно дефинисаној -функцији до полуравни , са полом у , затим до полуравни , са још једним полом у , итд. Тако се -функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве осим полова у непозитивним целим бројевима Под -функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.

Основна својства[уреди]

Гама-функција није елементарна функција, али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са факторијелом и примене у теорији бројева. Међу најважнијима особинама Гама-функције су функционална једначина

и Лежандрова дупликациона формула

Гама-функција нема нула. У тачкама , где је ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком ; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике , вредности даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

Модул гама-функције комплексног аргумента

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције , која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика


Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је , што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за (). За и је познато да су трансцендентни, као и . Такође, .

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке и . Тако је , док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

Историјат[уреди]

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

Уопштења и везе са другим функцијама[уреди]

У интегралу којим се дефинише -функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.


Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види још Риманова зета-функција.

Види још[уреди]

Референце[уреди]