Dirihleova funkcija

Modifikovana Dirihleova funkcija (Tomaova funkcija): $D(x)={\frac {1}{x}},x\in \mathbb {Q}$ i $D(x)=0,x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .$

Dirihleova funkcija dobila je naziv po nemačkom matematičaru Johanu Dirihleu. Nemac Karl Toma ju je modifikao u Tomaovu funkciju.

Definicija

Dirihleova funkcija je funkcija realne promenljive $D\colon \mathbb {R} \mapsto \{0,1\}$ definisana kao:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} ,\end{cases}}$

odnosno funkcija čiji domen čine svi realni brojevi, a kodomen samo brojevi 0 i 1. Ova funkcija je definisana tako da za sve racionalne brojeve uzima vrednost 1, a za sve iracionalne brojeve uzima vrednost 0.

Od same Dirihleove funkcije, interesantnija je (pogotovo grafički) njena modifikovana verzija, koja se naziva Tomaova funkcija. Ovako predefinisana funkcija $D\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ glasi:

$D(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}$

Prekidnost

Iz Košijevog kriterijuma konvergencije za funkcije, može se lako pokazati da tokom celog njenog domena postoje brojevi x i y takvi da važi |x − y| < δ and |f(x) − f(y)| ≥ ε, odnosno funkcija je neneprekidna, tj. prekidna je u svakoj tački svog domena.

Periodičnost

Dirihleova funkcija je periodična, ali nema osnovni period.

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.

Vidi još

• Tomaova funkcija
• Funkcija
• Prekidnost