Рационалан број

За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).

У математици, рационалан број (понекад у разговору употребљавамо разломак) је број који се може записати као однос два цела броја a/b, где b није нула.

Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$.

Најједноставнији облик је када бројилац и именилац немају заједничког делитеља (узајамно су прости), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем.

Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан.

Реалан број који није рационалан се зове ирационалан.

Скуп свих рационалних бројева, који чине поље, означава се са $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$. Користећи скуповну нотацију $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ се дефинише као

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},$$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},$ где је $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ скуп целих бројева.

Аритметика

Четвртине

Два рационална броја (разломка) ${\frac {a}{b}}$${\frac {a}{b}}$ и ${\frac {c}{d}}$${\frac {c}{d}}$ су једнаки ако и само ако важи $ad=bc\,$$ad=bc\,$.

Два рационална броја се сабирају на следећи начин

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

Правило множења гласи

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

Адитивни и мултипликативни инверзни елемент постоји код рационалних бројева

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,$$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,$ и $\qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}$$\qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}$ ако је $a\neq 0\,$$a\neq 0\,$

Следи да је количник два разломка дат са

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

Египатски разломци

Сваки позитивни рационални број може бити представљен као збир различитих јединичних разломака, као што је

${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.$${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.$

За сваки позитивни рационални број постоји бесконачно много начина да се број овако представи и то се зову египатски разломци. Код старих Египћана је овакав начин представљања био основа за све математичке радње.