Рационалан број

С Википедије, слободне енциклопедије
За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).
Симбол за скуп рационалних бројева
Рационални бројеви () су укључени у реалне бројеве (), док сами обухватају целе бројеве (), који обухватају природне бројеве ()

У математици, рационалан број (понекад у разговору употребљавамо разломак) је број који се може записати као однос два цела броја a/b, где b није нула.[1] На пример, −3/7 је рационалан број, као и сваки цео број (нпр. 5 = 5/1). Скуп свих рационалних бројева, који се такође називају „рационалним” вредностима,[2] поље рационалних вредности[3] или поље рационалних бројева обично се означава подебљаним Q (или , уникод вредношћу U+1D410 𝐐 mathematical bold capital q или U+211A double-struck capital q);[4] како га је 1895. означио Ђузепе Пеано по речи quoziente, што је италијански за „квоцијент“, а први пут се појавио у Бурбакијевој Алгебри.[5]

Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример . Најједноставнији облик је када бројилац и именилац немају заједничког делитеља (узајамно су прости), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем. Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан. Реалан број који није рационалан се зове ирационалан. Скуп свих рационалних бројева, који чине поље, означава се са . Користећи скуповну нотацију се дефинише као: где је скуп целих бројева.

Децимално проширење рационалног броја се било завршава након коначног броја цифара (пример: 3/4 = 0.75), или на крају почиње да се понавља исти коначни низ цифара изнова и изнова (пример: 9/44 = 0.20454545...).[6] Насупрот томе, свака децимала која се понавља или завршава представља рационалан број. Ови искази су тачни у бази 10, и у свакој другој целобројној бази (на пример, бинарној или хексадецималној).

Реалан број који није рационалан назива се ирационалан.[5] Ирационални бројеви укључују 2, π, e, и φ. Децимално проширење ирационалног броја се наставља без понављања. Пошто је скуп рационалних бројева пребројив, а скуп реалних небројив, и скоро сви реални бројеви су ирационални.[1]

Рационални бројеви се могу формално дефинисати као класе еквиваленције парова целих бројева (p, q) са q ≠ 0, користећи релацију еквиваленције дефинисану на следећи начин:

Разломак p/q тада означава класу еквиваленције (p, q).[7]

Рационални бројеви заједно са сабирањем и множењем чине поље које садржи целе бројеве и налази се у било ком пољу које садржи целе бројеве. Другим речима, поље рационалних бројева је просто поље, а поље има карактеристику нула ако и само ако садржи рационалне бројеве као потпоље. Коначна проширења Q називају се поља алгебарских бројева, а алгебарско затварање Q је поље алгебарских бројева.[8]

Етимологија[уреди | уреди извор]

Иако се данас рационални бројеви дефинишу у виду односа, термин рационалан није изведен и речи ratio. Напротив, то је однос који је изведен из рационалног. Прва употреба речи ratio са његовим савременим значењем је посведочена на енглеском око 1660. године,[9] док се употреба речи rational за квалификационе бројеве појавила скоро век раније, 1570. године.[10] Ово значење рационалног потиче од математичког значења ирационалног, које је први пут коришћено 1551. године, а коришћено је у „преводима Еуклида (следећи његову особену употребу ἄλογος)“.[11][12]

Ова необична историја потиче од чињенице да су стари Грци „избегли јерес тако што су себи забранили да мисле о тим [ирационалним] дужинама као бројевима“.[13] Дакле, такве дужине су биле ирационалне, у смислу нелогичног, о чему се „не говори“ (ἄλογος на грчком).[14]

Аритметика[уреди | уреди извор]

Четвртине

Два рационална броја (разломка) и су једнаки ако и само ако важи .

Два рационална броја се сабирају на следећи начин

Правило множења гласи

Адитивни и мултипликативни инверзни елемент постоји код рационалних бројева

и ако је

Следи да је количник два разломка дат са

Египатски разломци[уреди | уреди извор]

Сваки позитивни рационални број може бити представљен као збир различитих јединичних разломака, као што је

За сваки позитивни рационални број постоји бесконачно много начина да се број овако представи и то се зову египатски разломци. Код старих Египћана је овакав начин представљања био основа за све математичке радње.

Формална конструкција[уреди | уреди извор]

Дијаграм који приказује репрезентацију еквивалентних класа парова целих бројева

Рационални бројеви се могу формирати као класе еквиваленције уређених парова целих бројева.[7][15]

Тачније, нека (Z × (Z \ {0})) буде скуп парова (m, n) целих бројева таквих да n ≠ 0. Релација еквиваленције је дефинисана на овом скупу са

[7][15]

Сабирање и множење се могу дефинисати следећим правилима:

[7]

Ова релација еквиваленције је релација конгруенције, што значи да је компатибилна са сабирањем и множењем дефинисаним горе; скуп рационалних бројева Q је дефинисан као количнички сет успостављен овом релацијом еквиваленције, (Z × (Z \ {0})) / ~, опремљен сабирањем и множењем изазваним горњим операцијама. (Ова конструкција се може извести са било којим интегралним доменом и производи његово поље разломака.)[7]

Класа еквиваленције пара (m, n) означава се m/n. Два пара (m1, n1) и (m2, n2) припадају истој класи еквиваленције (то јест, еквивалентни су) ако и само ако је m1n2 = m2n1. То значи да је m1/n1 = m2/n2 ако и само ако је m1n2 = m2n1.[7][15]

Свака класа еквиваленције m/n може бити представљена са бесконачно много парова, пошто

Свака класа еквиваленције садржи јединствени канонски репрезентативни елемент. Канонски представник је јединствени пар (m, n) у класи еквиваленције тако да су m и n међусобно прости, а n > 0. Ово се назива репрезентација у најнижим терминима рационалног броја.

Цели бројеви се могу сматрати рационалним бројевима који идентификују цео број n са рационалним бројем n/1.

Тотални ред се може дефинисати на рационалним бројевима, што проширује природни ред целих бројева. Постоји

ако

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ а б Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th изд.). New York, NY: McGraw-Hill. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3. 
  2. ^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated изд.). Courier Corporation. стр. 382. ISBN 978-0-486-47186-0.  Extract of page 382
  3. ^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. стр. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6.  Extract of page 104
  4. ^ Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Приступљено 1. 4. 2015. 
  5. ^ а б Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11. 
  6. ^ „Rational number”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11. 
  7. ^ а б в г д ђ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. стр. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2. 
  8. ^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th изд.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-X. 
  9. ^ Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989.  Entry ratio, n., sense 2.a.
  10. ^ Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989.  Entry rational, a. (adv.) and n.1, sense 5.a.
  11. ^ Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989.  Entry irrational, a. and n., sense 3.
  12. ^ Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (на језику: енглески). Приступљено 2021-03-19. 
  13. ^ Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (на језику: енглески). Приступљено 2021-03-20. 
  14. ^ Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. стр. 28. 
  15. ^ а б в „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Приступљено 2021-08-17. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]