Рационалан број

Симбол за скуп рационалних бројева

Рационални бројеви (

\mathbb {Q}

) су укључени у реалне бројеве (

\mathbb {R}

), док сами обухватају целе бројеве (

\mathbb {Z}

), који обухватају природне бројеве (

\mathbb {N}

)

У математици, рационалан број (понекад у разговору употребљавамо разломак) је број који се може записати као однос два цела броја a/b, где b није нула.^[1] На пример, $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}−3/7$ је рационалан број, као и сваки цео број (нпр. $5 = 5 / 1$ ). Скуп свих рационалних бројева, који се такође називају „рационалним” вредностима,^[2] поље рационалних вредности^[3] или поље рационалних бројева обично се означава подебљаним $Q$ (или $\mathbb {Q}$ , уникод вредношћу U+1D410 𝐐 mathematical bold capital q или U+211A ℚ double-struck capital q);^[4] како га је 1895. означио Ђузепе Пеано по речи quoziente, што је италијански за „квоцијент“, а први пут се појавио у Бурбакијевој Алгебри.^[5]

Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ . Најједноставнији облик је када бројилац и именилац немају заједничког делитеља (узајамно су прости), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем. Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан. Реалан број који није рационалан се зове ирационалан. Скуп свих рационалних бројева, који чине поље, означава се са $\mathbb {Q}$ . Користећи скуповну нотацију $\mathbb {Q}$ се дефинише као: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},$ где је $\mathbb {Z}$ скуп целих бројева.

Децимално проширење рационалног броја се било завршава након коначног броја цифара (пример: $3 / 4 = 0.75$ ), или на крају почиње да се понавља исти коначни низ цифара изнова и изнова (пример: $9 / 44 = 0.20454545...$ ).^[6] Насупрот томе, свака децимала која се понавља или завршава представља рационалан број. Ови искази су тачни у бази 10, и у свакој другој целобројној бази (на пример, бинарној или хексадецималној).

Реалан број који није рационалан назива се ирационалан.^[5] Ирационални бројеви укључују $\sqrt 2$ , $π$ , $e$ , и $φ$ . Децимално проширење ирационалног броја се наставља без понављања. Пошто је скуп рационалних бројева пребројив, а скуп реалних небројив, и скоро сви реални бројеви су ирационални.^[1]

Рационални бројеви се могу формално дефинисати као класе еквиваленције парова целих бројева $(p, q)$ са $q \neq 0$ , користећи релацију еквиваленције дефинисану на следећи начин:

\left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.

Разломак $p / q$ тада означава класу еквиваленције $(p, q)$ .^[7]

Рационални бројеви заједно са сабирањем и множењем чине поље које садржи целе бројеве и налази се у било ком пољу које садржи целе бројеве. Другим речима, поље рационалних бројева је просто поље, а поље има карактеристику нула ако и само ако садржи рационалне бројеве као потпоље. Коначна проширења $Q$ називају се поља алгебарских бројева, а алгебарско затварање $Q$ је поље алгебарских бројева.^[8]

Етимологија[уреди | уреди извор]

Иако се данас рационални бројеви дефинишу у виду односа, термин рационалан није изведен и речи ratio. Напротив, то је однос који је изведен из рационалног. Прва употреба речи ratio са његовим савременим значењем је посведочена на енглеском око 1660. године,^[9] док се употреба речи rational за квалификационе бројеве појавила скоро век раније, 1570. године.^[10] Ово значење рационалног потиче од математичког значења ирационалног, које је први пут коришћено 1551. године, а коришћено је у „преводима Еуклида (следећи његову особену употребу ἄλογος)“.^[11]^[12]

Ова необична историја потиче од чињенице да су стари Грци „избегли јерес тако што су себи забранили да мисле о тим [ирационалним] дужинама као бројевима“.^[13] Дакле, такве дужине су биле ирационалне, у смислу нелогичног, о чему се „не говори“ (ἄλογος на грчком).^[14]

Аритметика[уреди | уреди извор]

Четвртине

Два рационална броја (разломка) ${\frac {a}{b}}$ и ${\frac {c}{d}}$ су једнаки ако и само ако важи $ad=bc\,$ .

Два рационална броја се сабирају на следећи начин

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

Правило множења гласи

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

Адитивни и мултипликативни инверзни елемент постоји код рационалних бројева

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,

и

\qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}

ако је

a\neq 0\,

Следи да је количник два разломка дат са

{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}

Египатски разломци[уреди | уреди извор]

Сваки позитивни рационални број може бити представљен као збир различитих јединичних разломака, као што је

{\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.

За сваки позитивни рационални број постоји бесконачно много начина да се број овако представи и то се зову египатски разломци. Код старих Египћана је овакав начин представљања био основа за све математичке радње.

Формална конструкција[уреди | уреди извор]

Дијаграм који приказује репрезентацију еквивалентних класа парова целих бројева

Рационални бројеви се могу формирати као класе еквиваленције уређених парова целих бројева.^[7]^[15]

Тачније, нека $(Z × (Z \ {0}))$ буде скуп парова $(m, n)$ целих бројева таквих да $n \neq 0$ . Релација еквиваленције је дефинисана на овом скупу са

\left(m_{1},n_{1}\right)\sim \left(m_{2},n_{2}\right)\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

^[7]^[15]

Сабирање и множење се могу дефинисати следећим правилима:

\left(m_{1},n_{1}\right)+\left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right),

\left(m_{1},n_{1}\right)\times \left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right).

^[7]

Ова релација еквиваленције је релација конгруенције, што значи да је компатибилна са сабирањем и множењем дефинисаним горе; скуп рационалних бројева $Q$ је дефинисан као количнички сет успостављен овом релацијом еквиваленције, $(Z × (Z \ {0})) / ~$ , опремљен сабирањем и множењем изазваним горњим операцијама. (Ова конструкција се може извести са било којим интегралним доменом и производи његово поље разломака.)^[7]

Класа еквиваленције пара $(m, n)$ означава се $m / n$ . Два пара $(m 1, n 1)$ и $(m 2, n 2)$ припадају истој класи еквиваленције (то јест, еквивалентни су) ако и само ако је $m 1 n 2 = m 2 n 1$ . То значи да је $m 1 / n 1 = m 2 / n 2$ ако и само ако је $m 1 n 2 = m 2 n 1$ .^[7]^[15]

Свака класа еквиваленције $m / n$ може бити представљена са бесконачно много парова, пошто

\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .

Свака класа еквиваленције садржи јединствени канонски репрезентативни елемент. Канонски представник је јединствени пар $(m, n)$ у класи еквиваленције тако да су $m$ и $n$ међусобно прости, а $n > 0$ . Ово се назива репрезентација у најнижим терминима рационалног броја.

Цели бројеви се могу сматрати рационалним бројевима који идентификују цео број $n$ са рационалним бројем $n / 1$ .

Тотални ред се може дефинисати на рационалним бројевима, што проширује природни ред целих бројева. Постоји

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}

ако

(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\qquad {\text{или}}\qquad (n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).

Референце[уреди | уреди извор]

^ ^а ^б Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th изд.). New York, NY: McGraw-Hill. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated изд.). Courier Corporation. стр. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. стр. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
^ Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Приступљено 1. 4. 2015.
^ ^а ^б Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.
^ „Rational number”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.
^ ^а ^б ^в ^г ^д ^ђ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. стр. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2.
^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th изд.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^ Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.
^ Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.
^ Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989. Entry irrational, a. and n., sense 3.
^ Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (на језику: енглески). Приступљено 2021-03-19.
^ Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (на језику: енглески). Приступљено 2021-03-20.
^ Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. стр. 28.
^ ^а ^б ^в „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Приступљено 2021-08-17.

Литература[уреди | уреди извор]

Cassels, J. W. S. (1986), Local Fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31525-5, Zbl 0595.12006
Dedekind, Richard; Weber, Heinrich (2012), Theory of Algebraic Functions of One Variable, History of mathematics, 39, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-8330-3 . — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
Gouvêa, F. Q. (март 1994), „A Marvelous Proof”, American Mathematical Monthly, 101 (3): 203—222, JSTOR 2975598, doi:10.2307/2975598
Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic Numbers: An Introduction (2nd изд.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl 0874.11002
Hazewinkel, M., ур. (2009), Handbook of Algebra, 6, North Holland, стр. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
Hehner, Eric C. R.; Horspool, R. Nigel (1979), „A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic”, SIAM Journal on Computing, 8 (2): 124—134, CiteSeerX 10.1.1.64.7714 , doi:10.1137/0208011
Hensel, Kurt (1897), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 6 (3): 83—88
Kelley, John L. (2008) [1955], General Topology, New York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
Koblitz, Neal (1980), p-adic analysis: a short course on recent work, London Mathematical Society Lecture Note Series, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-28060-5, Zbl 0439.12011
Robert, Alain M. (2000), A Course in p-adic Analysis, Springer, ISBN 0-387-98669-3
Bachman, George (1964), Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number Theory, Pure and Applied Mathematics, 20, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR 0195803
Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, 58 (2nd изд.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
Mahler, Kurt (1981), p-adic numbers and their functions, Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2nd изд.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013
Steen, Lynn Arthur (1978), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X
Houston-Edwards, Kelsey (19. 10. 2020), An Infinite Universe of Number Systems, Quanta Magazine

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Rational number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
"Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-adic arithmetic (slides)
Introduction to p-adic numbers

[Rosen-1] а ^б Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th изд.). New York, NY: McGraw-Hill. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[2] Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated изд.). Courier Corporation. стр. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382

[3] Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. стр. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104

[4] Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Приступљено 1. 4. 2015.

[:0-5] а ^б Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.

[6] „Rational number”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.

[:1-7] а ^б ^в ^г ^д ^ђ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. стр. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2.

[Gilbert-8] Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th изд.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.

[9] Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.

[10] Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.

[11] Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. 1989. Entry irrational, a. and n., sense 3.

[12] Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (на језику: енглески). Приступљено 2021-03-19.

[13] Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (на језику: енглески). Приступљено 2021-03-20.

[14] Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. стр. 28.

[:2-15] а ^б ^в „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Приступљено 2021-08-17.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]