Izolovana tačka

"0" je izolovana tačka u A

U topologiji, grani matematike, tačka x skupa S se naziva izolovanom tačkom u S, ako postoji okolina x koja ne sadrži druge tačke iz S.

Specifično, u euklidskom prostoru (ili metričkom prostoru), x je izolovana tačka u S, ako je moguće naći otvorenu loptu oko x koja ne sadrži druge tačke iz S.

Ekvivalentno, tačka x iz S je izolovana tačka u S ako i samo ako ona nije granična tačka za S.

Skup koji se sastoji samo od izolovanih tačaka naziva se diskretnim skupom. Svaki diskretni podskup euklidskog prostora je prebrojiv, jer izolacija svake od njegovih tačaka znači da on može da bude preslikan 1-1 u skup tačaka sa racionalnim koordinatama, kojih je prebrojivo mnogo. Međutim, skup može da bude prebrojiv, ali ne i diskretan (na primer, skup racionalnih brojeva). Vidi članak diskretan prostor.

Zatvoreni skup bez izolovanih tačaka se naziva savršenim skupom.

Broj izolovanih tačaka je topološka invarijanta, to jest, ako su dva topološka prostora $X$ i $Y$ homeomorfna, broj izolovanih tačaka u njima je jednak.

Primeri

Topološki prostori u sledećim primerima se smatraju potprostorima realne prave.

• Za skup $S=\{0\}\cup [1,2]$, tačka 0 je izolovana tačka.
• Za skup $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}$, svaka od tačaka 1/k je izolovana tačka, ali 0 nije izolovana tačka jer postoje druge tačke iz S koje su proizvoljno blizu 0.
• Skup ${\mathbb {N} }=\{0,1,2,\ldots \}$ prirodnih brojeva je diskretan skup.

Vidi još

• Granična tačka

Spoljašnje veze

• Vajsštajn, Erik V, Izolovana tačka na sajtu MathWorld.