Inverzna funkcija

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Функција ƒ i njena inverzna ƒ–1. Kako ƒ preslikava a u 3, inverzna funkcija ƒ–1 preslikava 3 nazad na a.

U matematici, ako funkcija ƒ preslikava skup A na skup B, onda je njena inverzna funkcija ƒ-1 takva da preslikava skup B na skup A i to tako da složena funkcija preslikava svaki element skupa A na samog sebe. Nema svaka funkcija svoju inverznu, ona koja ima se zove inverzibilna.

Npr., ako je data funkcija ƒ takva da daje dužinu u miljama ako je data dužina u metrima (ƒ(x) = 1,6 · x), onda njena inverzna funkcija g = ƒ-1 daje dužinu u metrima ako je poznata dužina u miljama (g(x) = x / 1,6).

Inverzibilnost[uredi]

  1. Kako funkcija mora da preslikava original u samo jednu sliku, to funkcija koja nije injektivna ne može imati inverznu.
  2. S druge strane, ako se opseg funkcije nije identičan njenom kodomenu, onda za neke elemente skupa-slike neće biti definisano preslikavanje ƒ-1.

Zato možemo reći da je funkcija inverzibilna akko je bijekcija.

Npr. fukcija nije ni injektivna (jer pozitivni i negativni brojevi imaju istu sliku), ni surjektivna (jer je rang , a ne čitav kodomen ). Ista funkcija, ali definisana kao ima inverznu funkciju . Funkcija ima inverznu, a nema jer nije injektivna ().

Osobine[uredi]

Simetrija[uredi]

Neka je id funkcija identiteta idX = x. Tada važi

odnosno .

Inverzna funkcija složene funkcije[uredi]

Pri inverziji kompozicije funkcija, osnovne funkcije menjaju redosled:

Autoinverzija[uredi]

Funkcija identiteta je inverzna sama sebi:

Grafičko predstavljanje[uredi]

Funkcija i njena inverzna funkcija su simetrične u odnosu na pravu .

Izvod inverzne funkcije[uredi]

Ako je početna funkcija diferencijabilna, onda se za sve tačke u kojima važi sledeća formula za izvod inverzne funkcije:

Obeležavanje[uredi]

Važno je uočiti da -1 u označavanju inverzne funkcije nije oznaka za eksponent. Zapravo se zapisuje kao ƒ(x)-1.

U infinitezimalnom računu oznaka ƒ(n) označava n-ti izvod funkcije:

U trigonometriji, iz istorijskih razloga, a ne , ali je , a ne . Upravo da bi se izbegla ova nepreciznost, za inverzne trigonometrijske funkcije koristi se oznaka arc, a za recipročne potpuno druga imena (). .

Literatura[uredi]

Vidi još[uredi]