Košijeva integralna formula

Košijeva integralna formula je teorema iz oblasti kompleksne analize, koja tvrdi da se vrijednost holomorfne funkcije u nekoj tački oblasti definisanosti može izračunati pomoću tačaka koje pripadaju rubu (granici) te oblasti. Ova teorema je jedna od centralnih tema kompleksne analize i koristi se pri razvoju funkcija u Tejlorov i Loranov red, metodama konturne integracije itd.

Košijeva integralna teorema

Neka skup $D$ ima orijentisanu granicu koja se sastoji iz konačnog broja neprekidnih krivih. Ako je funkcija $f$ holomorfna na oblasti $D$ i neprekidna na ${\overline {D}}$, ($f\in H(D),f\in C({\overline {D}})$), tada za proizvoljnu tačku $z\in D$ važi jednakost:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

Zapravo, šire, važi formula:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\begin{cases}f(z)&z\in D\\0&z\not \in D\end{cases}}$

Dokaz

Površina stvarnog dela funkcije g(z) = z²/z² + 2z + 2 i njene singularnosti, sa konturama opisanim u tekstu.

Prvi slučaj: neka $z\not \in D$.

Označimo funkciju $g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$. Ova funkcija je holomorfna nad $D$, jer je $f\in H(D)$ i jer je $\xi -z\not =0(z\not \in D)$. Tada važi Košijeva uopštena teorema i integral funkcije $g$ po $\partial D$ jednak nuli, tj.:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}g(\xi )d\xi =0$

Drugi slučaj: neka $z\in D$.

Pokušajmo iz oblasti $D$ da isiječemo mali krug $K=K[z,r]\subsetneq D$ (kompaktni podskup od $D$) oko tačke $z$ i označimo novonastalu oblast sa $G=G\setminus K$. Sada je jasno da se granica skupa $G$ sastoji od granice $D$ i granice novog kruga $K$, tj. preciznije $\partial G=\partial D\cup \partial K^{-}$. ($D$ je orijentisana granica, te granicu $\partial K^{-}$ takođe orijentišemo, i to u negativnom smjeru). Sada je funkcija $g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$ holomorfna nad $G$, jer je $f(\xi )$ holomorfna nad $D$, dakle i nad $G$, a $\xi -z\not =0$, jer $z\not \in G$. Ponovo imamo zadovoljenje Košijeve uopštene teoreme i biće:

$0=\int \limits _{\partial G}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +\int \limits _{\partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0$

Odavde se ispostavlja da je: $\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \Rightarrow {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

Sada treba dokazati da je:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$

Pošto smo izabrali poluprečnik $r$ proizvoljne veličine, proizilazi da gornji izrazi ne zavise od njegovog odabira, tj. gornje jednakosti će važiti za bilo koji dovoljno mali poluprečnik $r$ takav da je $K[z,r]\subsetneq D$. Zato ćemo pokazati da je $\lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$. Izračunajmo za koliko se ova dva izraza razlikuju (i pokažimo da će se za dovoljno malo $r$ izjednačiti):

$A=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)|=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi |=$

(Ovo poslednje slijedi iz činjenice da je ${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {1}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {re^{i\theta }i}{z+re^{i\theta }-z}}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1$)

$=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z+re^{i\theta })-f(z)}{z+re^{i\theta }-z}}re^{i\theta }id\theta |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })-f(z)d\theta |\leq {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })-f(z)|d\theta$

Zbog neprekidnosti funkcije znamo da se $f(z+re^{i\theta })$ može dovesti proizvoljno blizu $f(z)$ za dovoljno malo $r$, tj. preciznije:

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall \theta )(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta })-f(z)|<\epsilon )$

Odavde slijedi da za proizvoljno malo $\epsilon$ možemo naći dovoljno malo $r$ da bude:

$A<{\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{0}^{2\pi }d\theta =\epsilon \Rightarrow \lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$

Time je teorema dokazana.

Generalizacija

Verzija Košijeve integralne formule je Koši-Pompejova formula i važi i za glatke funkcije, pošto je zasnovana na Stoksovoj teoremi. Neka je D disk u C i pretpostavimo da je f funkcija kompleksne vrednosti C¹ na zatvaranju D. Tada

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.$

Ova reprezentaciona formul se može koristiti za rešavanje nehomogenih Koši-Rimanovih jednačina u D. Zaista, ako je φ funkcija u D, onda je određeno rešenje f jednačine holomorfna funkcija izvan nosača μ. Štaviše, ako je u otvorenom skupu D,

$d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}$

za neko φ ∈ C^k(D) (gde je k ≥ 1), onda je f(ζ, ζ) takođe u C^k(D) i zadovoljava jednačinu

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).$

Prvi zaključak je, sažeto, da je konvolucija μ ∗ k(z) kompaktno podržane mere sa Košijevim jezgrom

$k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}$

holomorfna funkcija van nosača μ. Ovde p.v. označava glavnu vrednost. Drugi zaključak tvrdi da je Košijevo jezgro fundamentalno rešenje Koši-Rimanove jednačine. Treba imati na umu da za glatke funkcije kompleksne vrednosti f kompaktnog nosača na C generalizovana Košijeva integralna formula se pojednostavljuje na

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},$

i predstavlja ponavljanje činjenice da je, posmatrano kao raspodela, (πz)⁻¹ je fundamentalno rešenje Koši-Rimanovog operatora ∂/∂z̄. Generalizovana Košijeva integralna formula se može izvesti za bilo koju ograničenu otvorenu oblast X sa C¹ granicom ∂X iz ovog rezultata i formule za distribucioni izvod karakteristične funkcije χ_X od X:

${\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,$

gde raspodela na desnoj strani označava konturnu integraciju duž ∂X.

Vidi još

• Košijeva integralna teorema

Literatura

• Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1 
• Pompeiu, D. (1905). „Sur la continuité des fonctions de variables complexes” (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, séries 2. 7 (3): 265–315. 
• Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions (2nd izd.). Oxford University Press. 
• Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Van Nostrand. 
• Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer. ISBN 978-3-540-12104-6. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9. 
• Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
• Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
• Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
• Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
• Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
• Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
• Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
• Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), „When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?”, The American Mathematical Monthly (objavljeno april 1978), 85 (4): 246—256, JSTOR 2321164, doi:10.2307/2321164 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Briot, Charles Auguste; Bouquet, Jean-Claude (1875). „§15 fonctions holomorphes”. Théorie des fonctions elliptiques (2nd izd.). Gauthier-Villars. 
• Harkness, James; Morley, Frank (1893). „5. Integration”. A Treatise on the Theory of Functions. Macmillan. str. 161. 
• Briot, Charles Auguste; Bouquet, Jean-Claude (1875). „§10”. Théorie des fonctions doublement périodiques. Mallet-Bachelier. str. 11. 
• Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3, Wiley Classics Library (Reprint izd.), New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore: John Wiley & Sons, str. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR 0822470, Zbl 1107.30300 
• Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd izd.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110. 
• Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5 
• Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag 
• Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill 
• Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Prevod: Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes. 
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4. 
• Chanson, H. (2007). „Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange” [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 93 (5): 127—131. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050. doi:10.1051/lhb:2007072 . 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2. 
• Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1. 
• Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. str. 32. 
• Gray, J. D.; Morris, S. A. (april 1978). „When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?”. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. JSTOR 2321164. doi:10.2307/2321164. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Looman, H. (1923). „Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen”. Göttinger Nachrichten (na jeziku: nemački): 97—108. 
• Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (3rd izd.). McGraw Hill (objavljeno 1987). ISBN 0-07-054234-1. 
• Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (3rd izd.). McGraw Hill (objavljeno 1979). ISBN 0-07-000657-1. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Cauchy–Riemann conditions”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (1st izd.). CUP (objavljeno 1984). ISBN 0-521-28763-4. 

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. „Cauchy Integral Formula”. MathWorld.