Кошијева интегрална формула

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области. Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.

Кошијева интегрална теорема

Нека скуп $D$ има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција $f$ холоморфна на области $D$ и непрекидна на ${\overline {D}}$, ($f\in H(D),f\in C({\overline {D}})$), тада за произвољну тачку $z\in D$ важи једнакост:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

Заправо, шире, важи формула:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\begin{cases}f(z)&z\in D\\0&z\not \in D\end{cases}}$

Доказ

Површина стварног дела функције g(z) = z²/z² + 2z + 2 и њене сингуларности, са контурама описаним у тексту.

Први случај: нека $z\not \in D$.

Означимо функцију $g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$. Ова функција је холоморфна над $D$, јер је $f\in H(D)$ и јер је $\xi -z\not =0(z\not \in D)$. Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције $g$ по $\partial D$ једнак нули, тј.:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}g(\xi )d\xi =0$

Други случај: нека $z\in D$.

Покушајмо из области $D$ да исијечемо мали круг $K=K[z,r]\subsetneq D$ (компактни подскуп од $D$) око тачке $z$ и означимо новонасталу област са $G=G\setminus K$. Сада је јасно да се граница скупа $G$ састоји од границе $D$ и границе новог круга $K$, тј. прецизније $\partial G=\partial D\cup \partial K^{-}$. ($D$ је оријентисана граница, те границу $\partial K^{-}$ такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција $g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$ холоморфна над $G$, јер је $f(\xi )$ холоморфна над $D$, дакле и над $G$, а $\xi -z\not =0$, јер $z\not \in G$. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

$0=\int \limits _{\partial G}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +\int \limits _{\partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0$

Одавде се испоставља да је: $\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \Rightarrow {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

Сада треба доказати да је:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$

Пошто смо изабрали полупречник $r$ произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник $r$ такав да је $K[z,r]\subsetneq D$. Зато ћемо показати да је $\lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$. Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало $r$ изједначити):

$A=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)|=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi |=$

(Ово последње слиједи из чињенице да је ${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {1}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {re^{i\theta }i}{z+re^{i\theta }-z}}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1$)

$=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z+re^{i\theta })-f(z)}{z+re^{i\theta }-z}}re^{i\theta }id\theta |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })-f(z)d\theta |\leq {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })-f(z)|d\theta$

Због непрекидности функције знамо да се $f(z+re^{i\theta })$ може довести произвољно близу $f(z)$ за довољно мало $r$, тј. прецизније:

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall \theta )(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta })-f(z)|<\epsilon )$

Одавде слиједи да за произвољно мало $\epsilon$ можемо наћи довољно мало $r$ да буде:

$A<{\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{0}^{2\pi }d\theta =\epsilon \Rightarrow \lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$

Тиме је теорема доказана.

Генерализација

Верзија Кошијеве интегралне формуле је Коши-Помпејова формула и важи и за глатке функције, пошто је заснована на Стоксовој теореми. Нека је D диск у C и претпоставимо да је f функција комплексне вредности C¹ на затварању D. Тада

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.$

Ова репрезентациона формул се може користити за решавање нехомогених Коши-Риманових једначина у D. Заиста, ако је φ функција у D, онда је одређено решење f једначине холоморфна функција изван носача μ. Штавише, ако је у отвореном скупу D,

$d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}$

за неко φ ∈ C^k(D) (где је k ≥ 1), онда је f(ζ, ζ) такође у C^k(D) и задовољава једначину

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).$

Први закључак је, сажето, да је конволуција μ ∗ k(z) компактно подржане мере са Кошијевим језгром

$k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}$

холоморфна функција ван носача μ. Овде p.v. означава главну вредност. Други закључак тврди да је Кошијево језгро фундаментално решење Коши-Риманове једначине. Треба имати на уму да за глатке функције комплексне вредности f компактног носача на C генерализована Кошијева интегрална формула се поједностављује на

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},$

и представља понављање чињенице да је, посматрано као расподела, (πz)⁻¹ је фундаментално решење Коши-Римановог оператора ∂/∂z̄. Генерализована Кошијева интегрална формула се може извести за било коју ограничену отворену област X са C¹ границом ∂X из овог резултата и формуле за дистрибуциони извод карактеристичне функције χ_X од X:

${\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,$

где расподела на десној страни означава контурну интеграцију дуж ∂X.

Види још

• Кошијева интегрална теорема

Литература

• Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1 
• Pompeiu, D. (1905). „Sur la continuité des fonctions de variables complexes” (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, séries 2. 7 (3): 265–315. 
• Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions (2nd изд.). Oxford University Press. 
• Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Van Nostrand. 
• Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer. ISBN 978-3-540-12104-6. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9. 
• Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
• Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
• Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
• Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
• Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
• Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
• Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
• Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), „When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?”, The American Mathematical Monthly (објављено април 1978), 85 (4): 246—256, JSTOR 2321164, doi:10.2307/2321164 CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Briot, Charles Auguste; Bouquet, Jean-Claude (1875). „§15 fonctions holomorphes”. Théorie des fonctions elliptiques (2nd изд.). Gauthier-Villars. 
• Harkness, James; Morley, Frank (1893). „5. Integration”. A Treatise on the Theory of Functions. Macmillan. стр. 161. 
• Briot, Charles Auguste; Bouquet, Jean-Claude (1875). „§10”. Théorie des fonctions doublement périodiques. Mallet-Bachelier. стр. 11. 
• Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3, Wiley Classics Library (Reprint изд.), New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore: John Wiley & Sons, стр. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR 0822470, Zbl 1107.30300 
• Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd изд.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110. 
• Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5 
• Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag 
• Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill 
• Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Превод: Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes. 
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4. 
• Chanson, H. (2007). „Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange” [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 93 (5): 127—131. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050. doi:10.1051/lhb:2007072 . 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2. 
• Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1. 
• Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. стр. 32. 
• Gray, J. D.; Morris, S. A. (април 1978). „When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?”. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. JSTOR 2321164. doi:10.2307/2321164. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Looman, H. (1923). „Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen”. Göttinger Nachrichten (на језику: немачки): 97—108. 
• Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill (објављено 1987). ISBN 0-07-054234-1. 
• Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill (објављено 1979). ISBN 0-07-000657-1. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Cauchy–Riemann conditions”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (1st изд.). CUP (објављено 1984). ISBN 0-521-28763-4. 

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. „Cauchy Integral Formula”. MathWorld.