Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области.[1] Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.[2]
Нека скуп
има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција
холоморфна на области
и непрекидна на
, (
), тада за произвољну тачку
важи једнакост:
Заправо, шире, важи формула:
Површина стварног дела функције
g(z) = z2/z2 + 2z + 2 и њене сингуларности, са контурама описаним у тексту.
Први случај: нека
.
Означимо функцију
. Ова функција је холоморфна над
, јер је
и јер је
. Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције
по
једнак нули, тј.:
Други случај: нека
.
Покушајмо из области
да исијечемо мали круг
(компактни подскуп од
) око тачке
и означимо новонасталу област са
. Сада је јасно да се граница скупа
састоји од границе
и границе новог круга
, тј. прецизније
. (
је оријентисана граница, те границу
такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција
холоморфна над
, јер је
холоморфна над
, дакле и над
, а
, јер
. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:
Одавде се испоставља да је:
Сада треба доказати да је:
Пошто смо изабрали полупречник
произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник
такав да је
. Зато ћемо показати да је
. Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало
изједначити):
(Ово последње слиједи из чињенице да је
)
Због непрекидности функције знамо да се
може довести произвољно близу
за довољно мало
, тј. прецизније:
Одавде слиједи да за произвољно мало
можемо наћи довољно мало
да буде:
Тиме је теорема доказана.
- Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
- Pompeiu, D. (1905). „Sur la continuité des fonctions de variables complexes” (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, séries 2. 7 (3): 265–315.
- Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions (2nd изд.). Oxford University Press.
- Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Van Nostrand.
- Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer. ISBN 978-3-540-12104-6.
- Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.
- Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
- Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
- Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
- Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
- Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
- Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
- Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
- Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
- Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
- Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
- Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
- Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
- Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
- Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).