Кошијева интегрална формула

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области. Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лореанов ред, методама контурне интеграције итд.

Кошијева теорема гласи: Нека скуп $D$ има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција $f$ холоморфна на области $D$ и непрекидна на $\overline{D}$, ($f\in H(D), f\in C(\overline{D})$), тада за произвољну тачку $z\in D$ важи једнакост:

$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$

Заправо, шире:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi = \begin{cases} f(z) & z\in D \\ 0 & z\not\in D \end{cases}$

Доказ

Први случај: нека $z\not\in D$.

Означимо функцију $g(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi-z}$. Ова функција је холоморфна над $D$, јер је $f\in H(D)$ и јер је $\xi-z\not=0 (z\not\in D)$. Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције $g$ по $\partial D$ једнак нули, тј.:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}g(\xi)d\xi = 0$

Други случај: нека $z\in D$.

Покушајмо из области $D$ да исијечемо мали круг $K=K[z,r]\subsetneq D$ (компактни подскуп од $D$) око тачке $z$ и означимо новонасталу област са $G=G\setminus K$. Сада је јасно да се граница скупа $G$ састоји од границе $D$ и границе новог круга $K$, тј. прецизније $\partial G=\partial D\cup\partial K^-$. ($D$ је оријентисана граница, те границу $\partial K^-$ такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција $g(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi-z}$ холоморфна над $G$, јер је $f(\xi)$ холоморфна над $D$, дакле и над $G$, а $\xi-z\not=0$, јер $z\not\in G$. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

$0=\int\limits_{\partial G}g(\xi)d\xi=\int\limits_{\partial D\cup\partial K^-}g(\xi)d\xi = \int\limits_{\partial D\cup\partial K^-}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi+\int\limits_{\partial K^-}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=0$

Одавде се испоставља да је: $\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \Rightarrow \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$

Сада треба доказати да је:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=f(z)$

Пошто смо изабрали полупречник $r$ произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник $r$ такав да је $K[z,r]\subsetneq D$. Зато ћемо показати да је $\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=f(z)$. Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало $r$ изједначити):

$A=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-f(z)|=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(z)}{\xi-z}d\xi|=$

(Ово последње слиједи из чињенице да је $\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{1}{\xi-z}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_0^{2\pi}\frac{re^{i\theta}i}{z+re^{i\theta}-z}d\theta=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}d\theta=\frac{1}{2\pi}2\pi=1$)

$=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}d\xi|=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{f(z+re^{i\theta})-f(z)}{z+re^{i\theta}-z}re^{i\theta}id\theta|=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi}f(z+re^{i\theta})-f(z)d\theta|\leq\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi}|f(z+re^{i\theta})-f(z)|d\theta$

Због непрекидности функције знамо да се $f(z+re^{i\theta})$ може довести произвољно близу $f(z)$ за довољно мало $r$, тј. прецизније:

$(\forall \epsilon>0)(\exist \delta>0)(\forall \theta)(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta})-f(z)| < \epsilon)$

Одавде слиједи да за произвољно мало $\epsilon$ можемо наћи довољно мало $r$ да буде:

$A<\frac{1}{2\pi}\epsilon\int_0^{2\pi}d\theta=\epsilon \Rightarrow \lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=f(z)$

Тиме је теорема доказана.