Кошијева интегрална формула

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области. Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.

Кошијева интегрална теорема

Нека скуп $D$$D$ има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција $f$$f$ холоморфна на области $D$$D$ и непрекидна на ${\overline {D}}$${\overline {D}}$, ($f\in H(D),f\in C({\overline {D}})$$f\in H(D),f\in C({\overline {D}})$), тада за произвољну тачку $z\in D$$z\in D$ важи једнакост:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

Заправо, шире, важи формула:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\begin{cases}f(z)&z\in D\\0&z\not \in D\end{cases}}$${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\begin{cases}f(z)&z\in D\\0&z\not \in D\end{cases}}$

Доказ

Први случај: нека $z\not \in D$$z\not \in D$.

Означимо функцију $g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$$g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$. Ова функција је холоморфна над $D$$D$, јер је $f\in H(D)$$f\in H(D)$ и јер је $\xi -z\not =0(z\not \in D)$$\xi -z\not =0(z\not \in D)$. Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције $g$$g$ по $\partial D$$\partial D$ једнак нули, тј.:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}g(\xi )d\xi =0$${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}g(\xi )d\xi =0$

Други случај: нека $z\in D$$z\in D$.

Покушајмо из области $D$$D$ да исијечемо мали круг $K=K[z,r]\subsetneq D$$K=K[z,r]\subsetneq D$ (компактни подскуп од $D$$D$) око тачке $z$$z$ и означимо новонасталу област са $G=G\setminus K$$G=G\setminus K$. Сада је јасно да се граница скупа $G$$G$ састоји од границе $D$$D$ и границе новог круга $K$$K$, тј. прецизније $\partial G=\partial D\cup \partial K^{-}$$\partial G=\partial D\cup \partial K^{-}$. ($D$$D$ је оријентисана граница, те границу $\partial K^{-}$$\partial K^{-}$ такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција $g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$$g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$ холоморфна над $G$$G$, јер је $f(\xi )$$f(\xi )$ холоморфна над $D$$D$, дакле и над $G$$G$, а $\xi -z\not =0$$\xi -z\not =0$, јер $z\not \in G$$z\not \in G$. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

$0=\int \limits _{\partial G}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +\int \limits _{\partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0$$0=\int \limits _{\partial G}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +\int \limits _{\partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0$

Одавде се испоставља да је: $\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \Rightarrow {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$$\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \Rightarrow {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

Сада треба доказати да је:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$

Пошто смо изабрали полупречник $r$$r$ произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник $r$$r$ такав да је $K[z,r]\subsetneq D$$K[z,r]\subsetneq D$. Зато ћемо показати да је $\lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$$\lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$. Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало $r$$r$ изједначити):

$A=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)|=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi |=$$A=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)|=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi |=$

(Ово последње слиједи из чињенице да је ${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {1}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {re^{i\theta }i}{z+re^{i\theta }-z}}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1$${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {1}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {re^{i\theta }i}{z+re^{i\theta }-z}}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1$)

$=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z+re^{i\theta })-f(z)}{z+re^{i\theta }-z}}re^{i\theta }id\theta |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })-f(z)d\theta |\leq {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })-f(z)|d\theta$$=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z+re^{i\theta })-f(z)}{z+re^{i\theta }-z}}re^{i\theta }id\theta |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })-f(z)d\theta |\leq {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })-f(z)|d\theta$

Због непрекидности функције знамо да се $f(z+re^{i\theta })$$f(z+re^{i\theta })$ може довести произвољно близу $f(z)$$f(z)$ за довољно мало $r$$r$, тј. прецизније:

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall \theta )(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta })-f(z)|<\epsilon )$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall \theta )(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta })-f(z)|<\epsilon )$

Одавде слиједи да за произвољно мало $\epsilon$$\epsilon$ можемо наћи довољно мало $r$$r$ да буде:

$A<{\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{0}^{2\pi }d\theta =\epsilon \Rightarrow \lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$$A<{\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{0}^{2\pi }d\theta =\epsilon \Rightarrow \lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)$

Тиме је теорема доказана.

Види још

• Кошијева интегрална теорема