Кошијева интегрална формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области.[1] Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.[2]

Кошијева интегрална теорема[уреди]

Нека скуп има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција холоморфна на области и непрекидна на , (), тада за произвољну тачку важи једнакост:

Заправо, шире, важи формула:

Доказ[уреди]

Први случај: нека .

Означимо функцију . Ова функција је холоморфна над , јер је и јер је . Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције по једнак нули, тј.:

Други случај: нека .

Из скупа '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"' исијечемо круг произвољног полупречника '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'

Покушајмо из области да исијечемо мали круг (компактни подскуп од ) око тачке и означимо новонасталу област са . Сада је јасно да се граница скупа састоји од границе и границе новог круга , тј. прецизније . ( је оријентисана граница, те границу такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција холоморфна над , јер је холоморфна над , дакле и над , а , јер . Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

Одавде се испоставља да је:

Сада треба доказати да је:

Пошто смо изабрали полупречник произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник такав да је . Зато ћемо показати да је . Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало изједначити):

(Ово последње слиједи из чињенице да је )

Због непрекидности функције знамо да се може довести произвољно близу за довољно мало , тј. прецизније:

Одавде слиједи да за произвољно мало можемо наћи довољно мало да буде:

Тиме је теорема доказана.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Cauchy integral”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
  2. ^ Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 

Литература[уреди]

  • Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
  • Pompeiu, D. (1905). „Sur la continuité des fonctions de variables complexes” (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, séries 2. 7 (3): 265–315. 
  • Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions (2nd изд.). Oxford University Press. 
  • Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Van Nostrand. 
  • Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer. ISBN 978-3-540-12104-6. 
  • Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9. 
  • Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
  • Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
  • Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
  • Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
  • Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
  • Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
  • Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
  • Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
  • Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
  • Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
  • Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
  • Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
  • Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
  • Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).

Спољашње везе[уреди]