Кошијева интегрална формула

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области. Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.

Кошијева интегрална теорема[уреди]

Нека скуп има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција холоморфна на области и непрекидна на , (), тада за произвољну тачку важи једнакост:

Заправо, шире, важи формула:

Доказ[уреди]

Први случај: нека .

Означимо функцију . Ова функција је холоморфна над , јер је и јер је . Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције по једнак нули, тј.:

Други случај: нека .

Из скупа '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"' исијечемо круг произвољног полупречника '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'

Покушајмо из области да исијечемо мали круг (компактни подскуп од ) око тачке и означимо новонасталу област са . Сада је јасно да се граница скупа састоји од границе и границе новог круга , тј. прецизније . ( је оријентисана граница, те границу такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција холоморфна над , јер је холоморфна над , дакле и над , а , јер . Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

Одавде се испоставља да је:

Сада треба доказати да је:

Пошто смо изабрали полупречник произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник такав да је . Зато ћемо показати да је . Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало изједначити):

(Ово последње слиједи из чињенице да је )

Због непрекидности функције знамо да се може довести произвољно близу за довољно мало , тј. прецизније:

Одавде слиједи да за произвољно мало можемо наћи довољно мало да буде:

Тиме је теорема доказана.

Види још[уреди]