Lopitalovo pravilo

U matematičkoj analizi, Lopitalovo pravilo omogućava nalaženje izvesnih graničnih vrednosti sa „neodređenim oblicima“ pomoću izvoda. Primena (ili uzastopna primena) Lopitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavajući lako računanje limesa. Pravilo je dobilo ime po 17. vekovnom francuskom matematičaru Gijomu de Lopitalu, koji je objavio pravilo u svojoj knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumele krive, 1696) što je prva knjiga o diferencijalnoj analizi.

Veruje se da je pravilo delo Johana Bernulija, pošto je Lopital, koji je bio plemić plaćao Bernuliju 300 franaka godišnje, da ga obaveštava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rešavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je Lopital objavio knjigu, dao je zasluge Bernuliju, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je objavio anonimno. Bernuli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac celokupnog dela, i do skora se verovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po Lopitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio.

Pregled

Uvod

U prostim slučajevima, Lopitalovo pravilo glasi da za funkcije f(x) i g(x), ako $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ ili $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=\infty$, tada:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

gde prim (') označava izvod.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoji limes $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Ostali uslovi su detaljnije izloženi dole, u formalnom iskazu.

Formalni iskaz

Lopitalovo pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrednosti razlomka $f(x)/g(x)\$ kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. Lopitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrednost možemo naći računajući limes razlomka $f'/g'\$, ali naravno samo ako ovaj potonji postoji, i uz uslov da je g′ različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferencijacija može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.

Lopitalovo pravilo.

Neka je $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Neka je $c\in \mathbb {R} ^{*}$ i neka su f i g dve funkcije diferencijabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koji sadrži c (dakle sa $b=\infty$ ako $c=\infty$ ili sa $a=-\infty$ ako $c=-\infty$), izuzev, mogućno, u samoj tački c, i takve da je

$\lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}g(x)=0$  ili  $\lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=+\infty$

i da je $g'(x)\neq 0$ za svako $x\in (a,b)$, $x\neq c$.

Tada, ako postoji granična vrednost

$\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=A$,  $A\in \mathbb {R} ^{*}$

onda je i

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=A.$

Lopitalovo pravilo važi i za jednostrane limese.

Osnovni neodređeni oblici na koje se Lopitalovo pravilo odnosi su:

${0 \over 0}\qquad {\infty \over \infty }$

Ostali neodređeni oblici, koji se svi mogu svesti na osnovne (vidi primere) su

${\infty \qquad 0\cdot \infty \qquad 0^{0}\qquad \infty -\infty \qquad }$

Važnost uslova teoreme

Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ postoji. Diferencijacija brojioca i imenioca neodređenih oblika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postojanja i vrednosti eventualne granične vrednosti potpuno otvorenim. Na primer, ako $f(x)=x+\sin(x)$ i $g(x)=x$, onda

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }(1+\cos(x))$

ne postoji, dok je

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoji, donosi se zaključak da je primena Lopitalovog pravila bila legitimna.

Takođe postoji uslov da izvod od g ne nestane kroz ceo interval koji sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se Lopitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gde prvi izvod imenioca izrazito osciluje (menjajući pritom znak) blizu tačke gde se traži limes. Na primer ako $f(x)=x+\cos(x)\sin(x)$ i $g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))$, tada

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos ^{2}{x}}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}$
	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}=0$

dok

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$

ne postoji, jer ${\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$ fluktuira između e⁻¹ i e.

Jasno, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrednosti kod kojih nisu i brojilac i imenilac diferencijabilne funkcije.

Primeri

• Sledi primer koji se tiče sinc funkcije, koja ima oblik 0/0 :

$\lim _{x\to 0}\mathrm {sinc} (x)\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\,$
		$=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1\,$

Ovaj limes se zapravo može videti kao definicija izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on je neophodan u najčešćem dokazu da je izvod od sin(x) jednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti Lopitalovo pravilo, jer bi tako došlo do kružnog argumenta. Vidi #Logička cirkularnost dole.

• Sledi detaljniji primer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. Jednokratna primena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primenom Lopitalovog pravila:

$\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}$	$=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}$
	$={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}$
	$=6\,$

• Sledi još jedan slučaj sa 0/0:

$\lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}$

• Ovde je slučaj ∞/∞:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}}\,)\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty$

• Ovaj se tiče ∞/∞. Neka je n prirodan broj.

$\lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}$

Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraju beskonačnosti) sporije od eksponencijalne.

• Ovaj primer se takođe tiče ∞/∞:

$\lim _{x\to 0+}x\ln x=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0$

• Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika $0^{0}$: Kako bi izračunali $\lim _{x\to 0+}x^{x}$, zapisujemo $x^{x}$ kao $e^{x\ln x}$ i dobijamo

$\lim _{x\to 0+}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0+}(x\ln x)}=e^{0}=1.$

• Ovo je impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:

$\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\left\{\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\right\}\cdot \left.{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}\,\right|_{t=0}$
	$=1\cdot 1=1$

$\lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$
	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \left({\frac {-\pi /2}{-2}}\right)$
	$=\sin \left({\frac {\pi }{2\alpha }}\right)\cdot {\frac {\alpha }{2}}$

Dokazi Lopitalovog pravila

Najčešći dokaz Lopitalovog pravila koristi Košijevu teoremu o srednjoj vrednosti. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaja, već prema tome da li je $c\in {\mathbb {R} }$ ili $c\in \{\pm \infty \}$ te da li je $A\in {\mathbb {R} }$ ili $A\in \{\pm \infty \}$. Ova razmatranja se razlikuju u detaljima ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je c konačno.

Kod neodređenog oblika 0 sa 0

Neka $f(x)\to 0,g(x)\to 0$. Ako predefinišemo funkcije f i g u tački c tako da je $f(c)=g(c)=0$, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferencijabilne na (c, b). Ovo ne menja limes, jer limes (po definiciji) ne zavisi od vrednosti u datoj tački.

Ovako predefinisane funkcije f i g zadovoljavaju uslove Košijeve teoreme o srednjoj vrednosti, prema kojoj postoji tačka $\xi$ u $c<\xi <c+h$ takva da:

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}}$

Kako $f(c)=g(c)=0$,

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}$

Kada $h\to 0$, imamo $\xi \to c$ i stoga

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{\xi \to c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Kod neodređenog oblika beskonačno sa beskonačno

Slučaj kada je $|g(x)|\to +\infty$ se razmatra slično. Neka je $c<x<y=x+h$. Tada, prema Košijevoj teoremi o srednjoj vrednosti, postoji $x<\xi <y$ takvo da je

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}$

Zapisujemo ovo u obliku

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(y)}{g(x)}}+\left[1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right]{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$

a zatim pokazujemo da vrednosti f(x)/g(x) teže ka A puštajući limes kada $x\to c$ i $h\to 0$. Naime, ako je h > 0 fiksirano ali pritom podesno malo, kada $x\to c$ biće $f(y)/g(x)\to 0$ i $g(y)/g(x)\to 0$, kao i $c<\xi <c+h+\epsilon$ i stoga $f'(\xi )/g'(\xi )$ po želji blisko A. Puštajući potom limes kada $h\to 0$ sledi $f(x)/g(x)\to A$. Ovo rezonovanje se najlakše može formalizovati korišćenjem gornjeg i donjeg limesa.

Ostale primene

Mnogi drugi neodređeni oblici, poput $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$, i $\infty -\infty$ mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.

Na primer, u slučaju $\infty -\infty$, razlika dve funkcije se pretvara u razlomak:

$\lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {x+x-1}{2{\sqrt {x(x-1)}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\sqrt {x}}{2{\sqrt {x-1}}}}+{\frac {\sqrt {x-1}}{2{\sqrt {x}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{2{\frac {1}{2{\sqrt {x-1}}}}}}+{\frac {\sqrt {x-1}}{2{\sqrt {x}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\sqrt {x-1}}{\sqrt {x}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\sqrt {1-{\frac {1}{x}}}}}}\quad$

$={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\quad$

Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koji uključuju eksponente, korišćenjem logaritama da se „spusti eksponent“.

Druge metode računanja limesa

Mada je Lopitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvek najlakši način. Neke limese je lakše računati korišćenjem razvoja u Tejlorove redove.

Na primer,

$\lim _{|x|\to \infty }x\sin {1 \over x}=\lim _{|x|\to \infty }x\left({1 \over x}-{1 \over x^{3}\cdot 3!}+{1 \over x^{5}\cdot 5!}-\cdots \right)\;$

$=\lim _{|x|\to \infty }1-{1 \over x^{2}\cdot 3!}+{1 \over x^{4}\cdot 5!}-\cdots \;=\;1\quad$

Da upotrebimo Lopitalovo pravilo, graničnu vrednost ovog razlomka možemo zapisati kao:

$\lim _{|x|\to \infty }\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}$,

te primenom Lopitalovog pravila, dobijamo:

$L=\lim _{|x|\to \infty }\ {{\cos {1 \over x}\cdot {-1 \over x^{2}}} \over {-1 \over x^{2}}}$

$=\lim _{|x|\to \infty }{\cos {1 \over x}}\cdot {-1 \over x^{2}}\cdot {x^{2} \over -1}$

$=\cos {1 \over \infty }=\cos {\ 0}=1$

Logička cirkularnost

U nekim slučajevima, korišćenje Lopitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

$\lim _{h\to 0}{(x+h)^{n}-x^{n} \over h}.$

Ako se izračunata vrednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$,

a Lopitalovo pravilo i činjenica da

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga je pogrešan (čak iako se ispostavi da je zaključak dokaza ipak tačan).

Spoljašnje veze

• (jezik: engleski)Lopitalovo pravilo na sajtu Mathworld
• (jezik: engleski)Lopitalovo pravilo na sajtu planetmath Arhivirano na sajtu Wayback Machine (30. oktobar 2008)
• C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernulija i Lopitala na stranicama 59-62.