Гранична вредност

С Википедије, слободне енциклопедије

Гранична вредност је један од основних појмова математичке анализе. Помоћу појма граничне вредности дефинишу се непрекидност, математички изводи и интеграли. Разликују се гранична вредност низа и гранична вредност функције. Гранична вредност описује број коме тежи вредност функције или вредност члана математичког низа, када се аргумент функције или индекс низа приближе некој вредности.[1]

У математичким формулама гранична вредност се обично означава са lim, као на пример lim(an) = a, или стрелицом (→), као на пример ana.

Математичари су интуитивно познавали концепт граничне вредности већ у другој половини XVII века, што се види у радовима Исака Њутна. То је случај и са радовима Ојлера и Лагранжа из XVIII века. Прву строго научну дефиницију граничне вредности дали су Болцано 1816. и Коши 1821. године.

Концепт границе низа је даље генерализован на концепт границе тополошке мреже, и уско је повезан са границом и директном границом у теорији категорија.

У формулама, граница функције се обично пише као

(иако неколико аутора користи „Lt“ уместо „lim“[2]) и чита се као „граница f од x како се x приближава c једнакa je L. Чињеница да се функција f приближава граници L док се x приближава c се понекад означава са стрелицом надесно (→ или ), као у

које се чита: „ од тежи ка кад тежи ка ”.

Гранична вредност функције[уреди | уреди извор]

Кад год се тачка x налази на растојању δ од c, вредност f(x) је унутар удаљености ε од L.
Функције графике показују да када аргумент тежи бесконачности, вредност функције тежи вредности .

Функција има граничну вредност у тачки , ако је за све вредности , довољно блиске тачки , вредност довољно блиска вредности . Данас се најчешће користи дефиниција граничне вредности функције коју је Карл Вајерштрас формализовао у 19. веку. Она гласи: Нека је ƒ функција дефинисана на отвореном интервалу који садржи вредност c (осим можда у самој тачки c) и нека је L реалан број. Онда формула

значи да за свако реално ε > 0 постоји реална вредност δ > 0 таква да је за свако x које испуњава услов 0 < |x − c| < δ, имамо да је |ƒ(x) − L| < ε.[3]

То се у математичкој нотацији записује као:

Огистен Луј Коши је 1821. године,[4] праћен Карлом Вајерштрасом, формализовао дефиницију границе функције која је постала позната као (ε, δ)-дефиниција границе. Дефиниција користи ε (мало грчко слово епсилон) да представи било који мали позитиван број, тако да „f(x) постаје произвољно близу L“ што значи да f(x) на крају лежи у интервалу (Lε, L + ε), који се такође може написати коришћењем апсолутне вредности као |f(x) − L| < ε.[4] Фраза „како се x приближава c“ онда указује да се односи на вредности x, чија је удаљеност од c мања од неког позитивног броја δ (мало грчко слово делта)—то јест, вредности x унутар било које (cδ, c) или (c, c + δ), што се може изразити са 0 < |xc| < δ. Прва неједнакост значи да је xc, док друга указује да је x унутар удаљености δ од c.[4]

Горња дефиниција границе је тачна чак и ако је f(c) ≠ L. Заиста, функција f не мора бити ни дефинисана на c.

На пример, ако

тада f(1) није дефинисано (види неодређени облик), али како се x креће произвољно близу 1, f(x) се на одговарајући начин приближава 2:[5]

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 недефинисано 2.001 2.010 2.100

Дакле, f(x) се може произвољно приближити граници од 2 - само тако што се x учини довољно близу 1.

Другим речима,

Ово се такође може израчунати алгебарски, као за све реалне бројеве x ≠ 1.

Сада, пошто је x + 1 континуирано у x на 1, може се унети 1 за x, што доводи до једначине

Поред лимита на коначним вредностима, функције могу имати и лимите у бесконачности. На пример, размотрите функцију

где је:

  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.9999

Како x постаје изузетно велико, вредност f(x) се приближава 2, а вредност f(x) се може учинити што ближе 2 колико се може пожелети – тако што ће x учинити довољно великим. Дакле, у овом случају, лимит f(x) како се x приближава бесконачности је 2, или у математичкој нотацији,

Гранична вредност низа[уреди | уреди извор]

Размотрите следећи низ: 1,79, 1,799, 1,7999, … Може се приметити да се бројеви „приближавају“ 1,8, граници низа.

Формално, претпоставимо да је a1, a2, … низ реалних бројева. Може се рећи да је реални број L граница овог низа, наиме:

који се чита као

„Граница an када се n приближава бесконачности једнака је L

ако и само ако

за сваки реалан број ε > 0, постоји природан број N такав да за свако n > N, постоји |anL| < ε.[6]

Интуитивно, то значи да се на крају сви елементи низа произвољно приближавају граници, пошто је апсолутна вредност |anL| растојање између an и L. Нема сваки низ лимит; ако има, онда се назива конвергентним, а ако не, онда је дивергентан. Може се показати да конвергентни низ има само једну границу.

Граница низа и граница функције су уско повезани. С једне стране, граница када се n приближава бесконачности низа {an} је једноставно лимит у бесконачности функције a(n)—дефинисане на природним бројевима {n}. С друге стране, ако је X домен функције f(x) и ако се лимит n приближава бесконачности функције f(xn) као L за сваки произвољни низ тачака {xn} у {X – {x0}} који конвергира на x0, тада је лимит функције f(x) како се x приближава x0 једна L.[7] Један такав низ би био {x0 + 1/n}.

Конвергенција и фиксна тачка[уреди | уреди извор]

Формална дефиниција конвергенције може се дати на следећи начин. Претпоставимо да као иде од до јесте низ који конвергира у , са за свако . Ако позитивне константе и постоје са

онда као иде од до и конвергира у реда , са константом асимптотске грешке .

За дату функцију са фиксном тачком , постоји контролна листа за проверу конвергенције низа .[8]

  1. Прво треба проверити да ли је p заиста фиксна тачка:
  2. Треба проверити линеарну конвергенцију. Почниње се тако што се проналази . Ако …
онда постоји линеарна конвергенција
серија дивергира
онда постоји барем линеарна конвергенција и можда нешто боље, израз треба проверити за квадратну конвергенцију
  1. Ако се утврди да постоји нешто боље од линеарног, израз треба проверити на квадратну конвергенцију. Почиње се тако што се проналази ако…
онда постоји квадратна конвергенција под условом да је континуирана
онда постоји нешто чак и боље од квадратне конвергенције
не постоји онда постоји конвергенција која је боља од линеарне, али још увек није квадратна

Израчунљивост границе[уреди | уреди извор]

Ограничења могу бити тешко израчунљива. Постоје гранични изрази чији је модул конвергенције неодлучив. У теорији рекурзије, гранична лема доказује да је могуће кодирати неодлучиве проблеме користећи лимите.[9]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early TranscendentalsНеопходна слободна регистрација (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. 
  2. ^ Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). стр. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 
  4. ^ а б в Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth изд.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2. 
  5. ^ „limit | Definition, Example, & Facts”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 
  7. ^ Apostol (1974, стр. 75–76)
  8. ^ Numerical Analysis, 8th Edition, Burden and Faires, Section 2.4 Error Analysis for Iterative Methods
  9. ^ Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]