Metoda potencijala čvorova

Prvi Kirhofov zakon je osnova metode potencijala čvorova.

U analizi električnih kola, metoda potencijala čvorova je metoda za određivanje napona (potencijalne razlike) između čvorova (tačaka gde se vezuju grane kola ili elementi) u električnom kolu u odnosu na struje grana u kolu.

U analizi električnih kola koristeći Kirhofove zakone, može se koristiti metoda potencijala čvorova koristeći Prvi Kirhofov zakon ili metoda konturnih struja koja koristi drugi Kirhofov zakon. Metoda potencijala čvorova daje jednačinu za svaki čvor zahtevajući da zbir struja grana ka tom čvoru bude jednak 0. Struje grana kola su zapisane u odnosu na napone čvorova. Kao posledica, svaka relacija vezana za granu kola mora da ima jednačinu koja je funkcija napona. Na primer, za otpornik, I_branch = V_branch * G, gde je G (=1/R) admitansa (konduktansa) otpornika.

Metodu potencijala čvorova je moguće koristiti kada sve grane elemenata u električnom kolu imaju admitansu koju je moguće odrediti. Metoda potencijala čvorova proizvodi mali broj jednačina za električno kolo, koje mogu biti rešene ručno ukoliko je električno kolo malo, ili brzo rešene koristeći linearnu algebru i kompjuter. Zbog malog broja jednačina, mnogi programi za simulaciju električnih kola (SPAJS) koriste metodu potencijala čvorova za rešavanje kola. Kada elementi nemaju admitansu koju je moguće odrediti, uopšteniji oblik metode potencijala čvorova (modifikovana metoda potencijala čvorova) može da se iskoristi za rešavanje.

Iako se mnogi jednostavni primeri metode potencijala čvorova fokusiraju na linearne elemente, kompleksnije nelinearne mreže takođe mogu da se reše koristeći Njutnovu metodu kako bi pretvorile nelinearni problem u skup linearnih problema.

Način rada

1. Uočiti sve povezane provodnike u električnom kolu. Oni čine čvorove koji se koriste u metodi potencijala čvorova.
2. Odrediti jedan čvor koji će predstavljati nulti potencijal. Odabir ovog čvora ne utiče na rezultat i bitan je samo zbog konvencije. Odabiranje čvora sa najviše provodnika koji su na njega povezani za nulti čvor može da uprosti analizu kola.
3. Dodeliti promenljivu za svaki čvor kola čiji potencijal nije poznat. Ako je potencijal nekog čvora poznat, nije potrebno dodeljivati mu promenljivu.
4. Za svaki nepoznati napon, formirati formulu na osnovu prvog Kirhofovog zakona. Prostije rečeno, sabrati sve struje koje se kreću od čvora i ka njemu i njihovu sumu izjednačiti sa 0. Nalaženje struja između dva čvora nije ništa teže od "čvor na kome ste trenutno, minus čvor ka kome se krećete, podeljeno sa otporom između dva čvora."
5. Ako postoje naponski izvori između dva nepoznata napona, povezati dva čvora tako da čine superčvor. Struje dva čvora se kombinuju u jednu jednačinu, i formira se nova jednačina za napone.
6. Rešiti sistem dobijenih jednačina za svaki nepoznati napon.

Primeri

Jednostavan slučaj

Jednostavan primer električnog kola za jedan nepoznat napon, V₁.

Jedini nepoznat napon u ovom kolu je V₁. Postoje tri grane ka ovom čvoru i samim tim tri struje koje treba razmotriti. Pozitivan smer struja u jednačinama je onaj koji se poklapa sa smerom od čvora.

1. Struja kroz otpornik R₁: (V₁ - V_S) / R₁
2. Struja kroz otpornik R₂: V₁ / R₂
3. Struja kroz strujni izvor I_S: -I_S

Pomoću prvog Kirhofovog zakona dobijamo:

${\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0$

Ova jednačina može da se reši u odnosu na V₁:

$V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R1}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}$

Na kraju, nepoznat napon može da se reši umetanjem numeričkih vrednosti umesto promenljivih u formulama. Bilo koju nepoznatu struju je lako izračunati kada su poznati svi naponi u električnom kolu.

$V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}\approx 4.667{\text{ V}}$

Superčvorovi

U ovom kolu, V_A je između dva nepoznata napona, i samim tim je superčvor.

U ovom kolu na početku imamo dva nepoznata napona V₁ i V₂. Napon V₃ je već poznat kao V_B jer je drugi kraj naponskog izvora na potencijalu 0.

Struja koja postoji kroz naponski izvor V_A ne može da se izračuna direktno. Zato ne možemo da napišemo jednačine za V₁ ili V₂. Ali, znamo da ista struja koja napušta čvor V₂ mora da uđe u čvor V₁. Iako čvorovi ne mogu da se reše zasebno, znamo da je kombinovana struja ova dva čvora jednaka 0. Ovo sjedinjavanje dva čvora se naziva tehnika superčvora, i traži jednu dodatnu jednačinu: V₁ = V₂ + V_A.

Kompletan skup jednačina za ovo kolo je:

${\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}$

Zamenom V₁ u prvu jednačinu i rešavanjem u odnosu na V2, dobijamo:

$V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}$

Literatura

• Paul Dimo (1975). Nodal Analysis of Power Systems. Kent: Abacus Press. 

Spoljašnje veze

• Branch current method
• Online four-node problem solver
• Simple Nodal Analysis Example