Gradijent

Из Википедије, слободне енциклопедије
За друге употребе, погледајте Gradijent (вишезначна одредница).
Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnim i belim područjima, s tim da crna odgovaraju većim vrednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje ima pravac najvećeg porasta skalarnog polja, odnosno, čiji je intenzitet najveća promena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta[уреди]

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem , tako da je u svakoj tački temperatura (pretpostavićemo da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazaće smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, takođe, može koristiti da se izmeri kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40%. Ako, međutim, put ide oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao između puta u pravcu uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž puta, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija[уреди]

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije po vektorskoj varijabli se označava kao ili gde (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka se, takođe, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije . To jest:

Skalarni proizvod vekora gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoću gradijentne teoreme. Suprotno, nerotaciono vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije[уреди]

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

U cilindričnim koordinatama:

(gde je azimutalni ugao, a je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

(gde je azimutni ugao, a je zenitni ugao).

Svojstva=[уреди]

Primer[уреди]

Na primer, gradijent u pravouglim koordinatama

je:

Gradijent i izvod ili diferencijal[уреди]

Linearna aproksimacija funkcije[уреди]

Gradijent funkcije iz Euklidovog prostora u i bilo kojoj tački x0 u karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sledeći način:

za koje je blizu , gdje je gradijent funkcije f izračunat u , gde tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu .

Vidi još[уреди]

Reference[уреди]

  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. стр. 157—160. ISBN 0-486-41147-8. 

Литература[уреди]

Literatura[уреди]