Parcijalni izvod

U matematici, parcijalni izvod funkcije sa nekoliko promenljivih je njen izvod po jednoj od tih promenljivih, dok se druge drže konstantnim (za razliku od totalnog izvoda, u kome je svim promenljivama dozvoljeno da variraju). Parcijalni izvodi se koriste u vektorskom kalkulusu i diferencijalnoj geometriji.

Ako postoje konačne granične vrednosti količnika priraštaja funkcije $f(x,y,\dots )$ u tački $P(x,y,\dots )$ sa odgovarajućim priraštajima nezavisno promenljivih takve da teže nuli, tada se te granične vrednosti nazivaju parcijalnim izvodima funkcije $f(x,y,\dots )$ u tački $P(x,y,\dots )$.

Parcijalni derivat funkcije $f(x,y,\dots )$ po promenljivoj $x$ se različito označava sa

$f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

Ponekad, ako je $z=f(x,y,\dots ),$ parcijalni izvod $z$ u pogledu $x$ se označava sa ${\partial z} \over {\partial x}.$ Pošto su parcijalni derivati generalno funkcije istih promenljivih kao i originalne funkcije, ta funkcionalna zavisnost se ponekad eksplicitno uvrštava u notaciju, kao u

$f_{x}(x,y,...),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,...).$

Simbol koji se koristi za označavanje parcijalnih derivata je ∂. Jedna od prvih poznatih upotreba tog simbola u matematici je prisutna u radu Markiza de Kordoseta i 1770, gde ga je on koristio za parcijalne izvode. Moderna notacija parcijalnih izvoda potiče od Adrijen-Mari Ležandra (1786), mada ju je on kasnije napustio; Karl Gustav Jakob Jakobi je ponovo uveo simbol 1841. godine.

Definicija

Kao i obični derivati, parcijalni derivat je definisan kao limit. Neka je U otvoreni podskup od $\mathbb {R} ^{n}$ i $f:U\to \mathbb {R}$ funkcija. Parcijalni derivat od f u tački $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ u odnosu na i-tu promenljivu x_i je definisan kao

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}$

Čak i ako svi parcijalni derivati ∂f/∂x_i(a) postoje u datoj tački a, funkcija ne mora tamo biti kontinuirana. Međutim, ako svi parcijalni derivati postoje u okolini a i tamo su kontinuirani, tada je f potpuno diferencijabilna u tom susedstvu i totalni izvod je kontinuiran. U ovom slučaju se kaže da je f funkcija C¹1. Ovo se može koristiti za generalizaciju za vektorske funkcije, $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$, pažljivo koristeći komponentni argument.

Parcijalni derivat ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ se može posmatrati kao još jedna definisana funkcija na U i opet se može parcijalno diferencirati. Ako su svi mešoviti parcijalni izvodi drugog reda kontinuirani u tački (ili na skupu), f se u toj tački (ili na tom skupu) naziva C² funkcija; u ovom slučaju se parcijalni derivati mogu zameniti Klajrautovom teoremom:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.$

Notacija

Vidi još: ∂

Za sledeće primere, neka je $f$ funkcija u $x,y$ i $z$.

Parcijalni derivati prvog reda:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.$

Parcijalni derivati drugog reda:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.$

Mešoviti derivati drugog reda:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.$

Parcijalni i viši derivati višeg reda:

${\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.$

Kada se radi o funkcijama više promenljivih, neke od ovih promenljivih mogu biti povezane jedna s drugom, te će možda biti potrebno da se eksplicitno navede koje se promenljive drže konstantnim kako bi se izbegla nejasnoća. U poljima kao što je statistička mehanika, parcijalni derivat od $f$ u odnosu na $x$, držeći $y$ i $z$ konstantnim, često se izražava kao

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.$

Konsekventno, radi jasnoće i jednostavnosti zapisa, parcijalni derivat funkcije i vrednost funkcije u određenoj tački su povezani tako što uključuju argumente funkcije kada se koristi simbol parcijalnog derivata (Lajbnicov zapis). Dakle, izraz poput

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}$

se koristi za funkciju, dok se

${\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}$

može koristiti za vrednost funkcije u tački $(x,y,z)=(u,v,w)$. Međutim, ova konvencija se ne koristi kada se želi da se proceni parcijalni derivat u tački poput $(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})$. U takvom slučaju, vrednovanje funkcije mora biti izraženo na nezgrapan način kao

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})$

ili

$\left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

kako bi se koristio Lajbnicov zapis. Stoga, u ovim slučajevima, može da bude poželjnije da se koristi Ojlerov diferencijalni zapis operatora sa $D_{i}$ kao simbol parcijalnog izvoda u odnosu na i-tu promenljivu. Na primer, moglo bi se napisati $D_{1}f(17,u+v,v^{2})$ za gore opisani primer, dok izraz $D_{1}f$ predstavlja funkciju parcijalnog izvoda u odnosu na prvu promenljivu.

Za parcijalne derivate višeg reda, parcijalni derivat (funkcija) od $D_{i}f$ u odnosu na ј-tu promenljivu označena je sa $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$. Stoga je, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$, tako da su promenljive navedene po redosledu uzimanja derivata, i otuda obrnutim redosledom od toga kako se obično beleži kompozicija operatora. Naravno, Klajrautova teorema implicira da je $D_{i,j}=D_{j,i}$ dokle god su zadovoljeni relativno blagi uslovi regularnosti na f.

Gradijent

Važan primer funkcije više promenljivih je slučaj funkcije skalarne vrednosti f(x₁, …, x_n) na domenu u Euklidskom prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ (npr. na $\mathbb {R} ^{2}$ ili $\mathbb {R} ^{3}$). U ovom slučaju f ima parcijalni derivat ∂f/∂x_j u odnosu na svaku promenljivu x_j. U tački a, ovi parcijalni derivati definišu vektor

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Ovaj vektor se naziva gradijent od f u a. Ako je f diferencijabilno u svakoj tački u nekom domenu, onda je gradijent vektorski-vrednosna funkcija ∇f koja vodi tačku a u vektor ∇f(a). Shodno tome, gradijent proizvodi vektorsko polje.

Uobičajena zloupotreba zapisa je definisanje del operatora (∇) na sledeći način u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ sa jediničnim vektorima ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$:

$\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}$

Ili, uopštenije, za n-dimenzionalni Euklidski prostor $\mathbb {R} ^{n}$ sa koordinatama $x_{1},\ldots ,x_{n}$ i jediničnim vektorima ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$:

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$

Direkcioni derivat

Konturni grafikon od $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, koji prikazuje gradijentni vektor u crnoj boji, i jedinični vektor $\mathbf {u}$ skaliran usmerenom derivatom u pravcu $\mathbf {u}$ u narandžastoj boji. Vektor gradijenta je duži, jer gradijent orjentisan u smeru najveće stope povećanja funkcije.

Direkcioni derivat skalarne funkcije

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

duž vektora

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$

je funkcija $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ definisana pomoću limita

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Ova definicija važi u širokom spektru konteksta, na primer gde je norma vektora (a samim tim i jedinični vektor) nedefinisana.

Primer

Pretpostavimo da je f funkcija više od jedne promenljive. Na primer,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$.

Grafikon z = x² + xy + y². Za parcijalni izvod u (1, 1) to daje konstantu y, što korespondira tangenti je paralelna sa xz-ravni.

Deo gornjeg grafikona koji prikazuje funkciju u xz-ravnini na y = 1. Treba imati na umu da su dve ose ovde prikazane sa različitim skalama. Nagib tangentne linije je 3.

Grafikon ove funkcije definiše površinu u Euklidovom prostoru. Za svaku tačku na ovoj površini postoji beskonačan broj tangentnih linija. Parcijalna diferencijacija je čin odabira jedne od ovih linija i pronalaženja njenog nagiba. Obično su najzanimljivije linije one koje su paralelne sa $xz$-ravni, i one koje su paralelne sa iz $yz$-ravni (koje rezultiraju iz držanja $y$ ili $x$ konstantnim).

Da bi se pronašao nagib linije koja je tangentna na funkciju u $P(1,1)$ i paralelna sa $xz$-ravni, $y$ se tretira kao konstanta. Grafikon i ova ravan su prikazani desno. U nastavku se vidi kako funkcija izgleda u ravni $y=1$. Pronalaženjem derivata jednačine uz pretpostavku da je $y$ konstanta, otkriva se da je nagib $f$ u tački $(x,y)$:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$.

Dakle, u $(1,1)$, zamenom, nagib je 3. Zbog toga,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

u tački $(1,1)$. To jest, parcijalni derivat $z$ u odnosu na $x$ u $(1,1)$ je 3, kao što je prikazano na grafikonu.

Funkcija f se može ponovo tumačiti kao porodica funkcija jedne promenljive indeksirane drugim promenljivama:

$f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Drugim rečima, svaka vrednost y definiše funkciju, označenu sa f_y , koja je funkcija jedne promenljive x. To jest,

$f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

U ovom odeljku oznaka indeksa f_y označava funkciju zavisnu od fiksne vrednosti y, a ne delimičan derivat.

Kada se izabere vrednost y, recimo a, onda f(x,y) određuje funkciju f_a koja prati krivu x² + ax + a² na $xz$-ravni:

$f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}$.

U ovom izrazu, a je konstanta, a ne promenljiva, te je f_a funkcija samo jedne realne promenljive, koja je x. Shodno tome, primenjuje se definicija derivata za funkciju jedne promenljive:

$f_{a}'(x)=2x+a$.

Gore navedeni postupak se može izvesti za bilo koji izbor a. Sklapanje derivata zajedno u funkciju daje funkciju koja opisuje varijaciju f u smeru x:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.$

Ovo je parcijalni izvod f u odnosu na x. Ovde je ∂ zaokruženo d koji se naziva simbol parcijalnog izvoda; da bi se razlikovao od slova d, ∂ se ponekad izgovara kao „parcijal“.

Parcijalni izvodi višeg reda

Parcijalni derivati drugog i višeg reda su definisani analogno derivatima višeg reda univarijantnih funkcija. Za funkciju $f(x,y,...)$ „sopstveni” drugi parcijalni derivat u odnosu na to x je jednostavno parcijalni derivat parcijalnog derivata (obe u odnosu na x):

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.$

Ukrštena parcijalna derivacija u odnosu na x i y dobija se uzimanjem parcijalnog izvoda od f u odnosu na x, a zatim se uzima parcijalni izvod rezultata u odnosu na y, da bi se dobilo

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.$

Švarcova teorema navodi da ako su drugi derivati kontinuirani, na izraz za unakrsnu parcijalnu derivaciju nema uticaja po kojoj varijabli se parcijalna derivacija prvo vrši. Drugim rečima,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$

ili ekvivalentno $f_{yx}=f_{xy}.$

Sopstveni i unakrsni parcijalni derivati pojavljuju se u Hesovoj matrici koja se koristi u uslovima drugog reda u problemima optimizacije.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Partial derivative”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Partial Derivatives at MathWorld