Гранична вредност

Гранична вредност је један од основних појмова математичке анализе. Помоћу појма граничне вредности дефинишу се непрекидност, математички изводи и интеграли. Разликују се гранична вредност низа и гранична вредност функције. Гранична вредност описује број коме тежи вредност функције или вредност члана математичког низа, када се аргумент функције или индекс низа приближе некој вредности.

У математичким формулама гранична вредност се обично означава са lim, као на пример lim(a_n) = a, или стрелицом (→), као на пример a_n → a.

Математичари су интуитивно познавали концепт граничне вредности већ у другој половини XVII века, што се види у радовима Исака Њутна. То је случај и са радовима Ојлера и Лагранжа из XVIII века. Прву строго научну дефиницију граничне вредности дали су Болцано 1816. и Коши 1821. године.

Концепт границе низа је даље генерализован на концепт границе тополошке мреже, и уско је повезан са границом и директном границом у теорији категорија.

У формулама, граница функције се обично пише као

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

(иако неколико аутора користи „Lt“ уместо „lim“) и чита се као „граница f од x како се x приближава c једнака je L. Чињеница да се функција f приближава граници L док се x приближава c се понекад означава са стрелицом надесно (→ или $\rightarrow$), као у

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,$

које се чита: „$f$ од $x$ тежи ка $L$ кад $x$ тежи ка $c$”.

Гранична вредност функције

Кад год се тачка x налази на растојању δ од c, вредност f(x) је унутар удаљености ε од L.

Функције графике показују да када аргумент тежи бесконачности, вредност функције тежи вредности $L$.

Главни чланак: Гранична вредност функције

Функција $f(x)$ има граничну вредност $L$ у тачки $x_{0}$, ако је за све вредности $x$, довољно блиске тачки $x_{0}$, вредност $f(x)$ довољно блиска вредности $L$. Данас се најчешће користи дефиниција граничне вредности функције коју је Карл Вајерштрас формализовао у 19. веку. Она гласи: Нека је ƒ функција дефинисана на отвореном интервалу који садржи вредност c (осим можда у самој тачки c) и нека је L реалан број. Онда формула

$\lim _{x\to c}f(x)=L\,$

значи да за свако реално ε > 0 постоји реална вредност δ > 0 таква да је за свако x које испуњава услов 0 < |x − c| < δ, имамо да је |ƒ(x) − L| < ε.

То се у математичкој нотацији записује као:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\forall x\quad (0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Огистен Луј Коши је 1821. године, праћен Карлом Вајерштрасом, формализовао дефиницију границе функције која је постала позната као (ε, δ)-дефиниција границе. Дефиниција користи ε (мало грчко слово епсилон) да представи било који мали позитиван број, тако да „f(x) постаје произвољно близу L“ што значи да f(x) на крају лежи у интервалу (L − ε, L + ε), који се такође може написати коришћењем апсолутне вредности као |f(x) − L| < ε. Фраза „како се x приближава c“ онда указује да се односи на вредности x, чија је удаљеност од c мања од неког позитивног броја δ (мало грчко слово делта)—то јест, вредности x унутар било које (c − δ, c) или (c, c + δ), што се може изразити са 0 < |x − c| < δ. Прва неједнакост значи да је x ≠ c, док друга указује да је x унутар удаљености δ од c.

Горња дефиниција границе је тачна чак и ако је f(c) ≠ L. Заиста, функција f не мора бити ни дефинисана на c.

На пример, ако

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

тада f(1) није дефинисано (види неодређени облик), али како се x креће произвољно близу 1, f(x) се на одговарајући начин приближава 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	недефинисано	2.001	2.010	2.100

Дакле, f(x) се може произвољно приближити граници од 2 - само тако што се x учини довољно близу 1.

Другим речима, $$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.$$

Ово се такође може израчунати алгебарски, као ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ за све реалне бројеве x ≠ 1.

Сада, пошто је x + 1 континуирано у x на 1, може се унети 1 за x, што доводи до једначине $$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.$$

Поред лимита на коначним вредностима, функције могу имати и лимите у бесконачности. На пример, размотрите функцију

$$f(x)={\frac {2x-1}{x}}$$ где је:

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

Како x постаје изузетно велико, вредност f(x) се приближава 2, а вредност f(x) се може учинити што ближе 2 колико се може пожелети – тако што ће x учинити довољно великим. Дакле, у овом случају, лимит f(x) како се x приближава бесконачности је 2, или у математичкој нотацији,

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$$

Гранична вредност низа

Главни чланак: Гранична вредност низа

Размотрите следећи низ: 1,79, 1,799, 1,7999, … Може се приметити да се бројеви „приближавају“ 1,8, граници низа.

Формално, претпоставимо да је a₁, a₂, … низ реалних бројева. Може се рећи да је реални број L граница овог низа, наиме:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

који се чита као

„Граница a_n када се n приближава бесконачности једнака је L”

ако и само ако

за сваки реалан број ε > 0, постоји природан број N такав да за свако n > N, постоји |a_n − L| < ε.

Интуитивно, то значи да се на крају сви елементи низа произвољно приближавају граници, пошто је апсолутна вредност |a_n − L| растојање између a_n и L. Нема сваки низ лимит; ако има, онда се назива конвергентним, а ако не, онда је дивергентан. Може се показати да конвергентни низ има само једну границу.

Граница низа и граница функције су уско повезани. С једне стране, граница када се n приближава бесконачности низа {a_n} је једноставно лимит у бесконачности функције a(n)—дефинисане на природним бројевима {n}. С друге стране, ако је X домен функције f(x) и ако се лимит n приближава бесконачности функције f(x_n) као L за сваки произвољни низ тачака {x_n} у {X – {x₀}} који конвергира на x₀, тада је лимит функције f(x) како се x приближава x₀ једна L. Један такав низ би био {x₀ + 1/n}.

Конвергенција и фиксна тачка

Формална дефиниција конвергенције може се дати на следећи начин. Претпоставимо да $p_{n}$ као $n$ иде од $0$ до $\infty$ јесте низ који конвергира у $p$, са $p_{n}\neq p$ за свако $n$. Ако позитивне константе $\lambda$ и $\alpha$ постоје са

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|p_{n+1}-p\right|}{\left|p_{n}-p\right|^{\alpha }}}=\lambda$

онда $p_{n}$ као $n$ иде од $0$ до $\infty$ и конвергира у $p$ реда $\alpha$, са константом асимптотске грешке $\lambda$.

За дату функцију $f$ са фиксном тачком $p$, постоји контролна листа за проверу конвергенције низа $p_{n}$.

1. Прво треба проверити да ли је p заиста фиксна тачка:

   $f(p)=p$

2. Треба проверити линеарну конвергенцију. Почиње се тако што се проналази $\left|f'(p)\right|$. Ако …

$\left|f'(p)\right|\in (0,1)$	онда постоји линеарна конвергенција
$\left|f'(p)\right|>1$	серија дивергира
$\left|f'(p)\right|=0$	онда постоји барем линеарна конвергенција и можда нешто боље, израз треба проверити за квадратну конвергенцију

3. Ако се утврди да постоји нешто боље од линеарног, израз треба проверити на квадратну конвергенцију. Почиње се тако што се проналази $\left|f''(p)\right|$ ако…

$\left|f''(p)\right|\neq 0$	онда постоји квадратна конвергенција под условом да је $f''(p)$ континуирана
$\left|f''(p)\right|=0$	онда постоји нешто чак и боље од квадратне конвергенције
$\left|f''(p)\right|$ не постоји	онда постоји конвергенција која је боља од линеарне, али још увек није квадратна

Израчунљивост границе

Ограничења могу бити тешко израчунљива. Постоје гранични изрази чији је модул конвергенције неодлучив. У теорији рекурзије, гранична лема доказује да је могуће кодирати неодлучиве проблеме користећи лимите.

Литература

• Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth изд.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2. 
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd изд.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473 
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2 изд.). Addison–Wesley. ISBN 0-201-00288-4. 
• Bartle, Robert (1967). The elements of real analysis. Wiley. 
• Courant, Richard (1924). Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Springer Verlag. 
• Hardy, G.H. (1921). A course in pure mathematics. Cambridge University Press. 
• Hubbard, John H. (2015). Vector calculus, linear algebra, and differential forms: A unified approach (Fifth изд.). Matrix Editions. 
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ур. (2002), „Media Highlights”, The College Mathematics, 33 (2): 147—154, JSTOR 2687124 .
• Rudin, Walter (1964). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill. 
• Sutherland, W. A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3. 
• Sherbert, Robert (2000). Introduction to real analysis. Wiley. 
• Whittaker; Watson (1904). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. 
• Felscher, Walter (2000), „Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 844—862, JSTOR 2695743, doi:10.2307/2695743 
• Grabiner, Judith V. (1983), „Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545 , collected in Who Gave You the Epsilon?. ISBN 978-0-88385-569-0. Архивирано из оригинала 04. 10. 2012. г. Приступљено 11. 07. 2022. , }}
• Sinkevich, G. I. (2017). „Historia epsylontyki” (PDF). Antiquitates Mathematicae. Cornell University. 10. arXiv:1502.06942 . doi:10.14708/am.v10i0.805. Приступљено 19. 10. 2021. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Burton, David M. (1997). The History of Mathematics: An introduction (Third изд.). New York: McGraw–Hill. стр. 558–559. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, Приступљено 2008-12-18 CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 
• Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 

Спољашње везе

• MacTutor History of Weierstrass.
• MacTutor History of Bolzano
• „Visual Calculus”. Архивирано из оригинала 24. 09. 2011. г. Приступљено 11. 07. 2022.  by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)