Podgrupa (matematika)

Podgrupa grupe $G$ je neprazan skup $H$ koji je sam grupa u odnosu na binarnu operaciju * definisanu u grupi. Drugim rečima, $H$ je podgrupa $G$ ako je restrikcija * na $H$ operacija grupe na $H$. Oznaka podgrupe $H$ grupe $G$ je $H<G$.

Definisana preko homomorfizma, $H$ je podgrupa grupe $G$ ako i samo ako je $H$ podskup od $G$ i postoji inkluzioni homomorfizam iz $H$ u $G$, odnosno $i(a)=a$ za svako $a$.

Prava pogrupa grupe $G$ je podgrupa $H$, koja je pravi podskup od $G$ (t. j. $H\neq G$). Trivijalna podgrupa bilo koje grupe je podgrupa $\left\{e\right\}$ koja se sastoji samo od neutrala. Ako je $H$ podgrupa od $G$, ponekad se kaže da je $G$ nadgrupa $H$.

Osnovna svojstva podgrupa

Teorema:

• Neprazan podskup $H$ skupa $G$ je podgrupa $H$ grupe $G$ ako i samo ako je $H$ zatvorena u odnosu na množenje i invertovanje elemenata. Zatvorenost za proizvode i inverze podrazumeva da kad god su $a$ i $b$ unutar $H$, tada je i $ab$ i $a^{-1}$ su takođe unutar $H$. Ova dva uslova mogu da se spoje u jedan ekvivalentan uslov: kad god su $a$ i $b$ unutar $H$, tada je i $ab^{-1}$ unutar $H$
• Neprazan podskup $H$ skupa $G$ je podgrupa $H$ grupe $G$ ako i samo ako za svaka dva elementa $h,h'$ iz $H$, i element $h^{-1}h'$ pripada $H$.
• Neprazan podskup $H$ konačnog skupa $G$ je podgrupa $H$ grupe $G$ ako i samo ako je skup $H$ zatvoren u odnosu na množenje. U ovom slučaju, svaki element $a$ iz $H$ generiše konačnu cikličnu podgrupu od $H$, i inverz $a$ je tada $a^{-1}=a^{n-1}$, gde je $n$ red $a$.

Osobine podgrupa

• Neutral podgrupe je neutral grupe: ako je $G$ grupa sa neutralom $e_{G}$, i $H$ je podgrupa $G$ sa neutralom $e_{H}$, tada je $e_{H}=e_{G}$.
• Inverz elementa podgrupe je inverz elementa grupe: ako je $H$ podgrupa $G$, i $a$ i $b$ su elementi $H$, takvi da $ab=ba=e_{H}$, tada $ab=ba=e_{G}$.
• Presek podgrupa $A$ i $B$ grupe $G$ je takođe podgrupa. Unija $A$ i $B$ je podgrupa ako i samo ako ili $A$ sadrži $B$ ili obratno, jer na primer 2 i 3 su u uniji $2Z$ i $3Z$ ali njihova suma 5 nije.
• Ako je $S$ podskup $G$, tada postoji najmanja podgrupa koja sadrži $S$, koja se može naći uzimanjem preseka svih podgrupa koje sadrže $S$; ovo se označava kao $<S>$ i naziva se podgrupom generisanom $S$-om. Element $G$ je unutar $<S>$ ako i samo ako je konačan proizvod elemenata $S$ i njihovih inverza.
• Svaki element $a$ grupe $G$ određuje (generiše) cikličnu podgrupu $<a>$. Ako je $<a>$ izomorfno sa $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ za neki pozitivan ceo broj $n$, onda je $n$ najmanji pozitivan ceo broj za koji $a^{n}=e$, i $n$ se naziva redom $a$. Ako je $<a>$ izomorfno sa $Z$, tada se kaže da je $a$ beskonačnog reda.

Primer

Neka je $G$ Abelova grupa čiji su elementi

$G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}$

i čija je operacija grupe sabiranje po modulu osam. Njena Kejlijeva tabela je

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ova grupa ima par netrivijalnih podgrupa: $J=\{0,4\}$ i $H=\{0,2,4,6\}$, gde je $J$ takođe podgrupa od $H$. Kajlijeva tabela za $H$ je gornji levi kvadrant Kajlijeve tabele za $G$. Grupa $G$ je ciklična, pa su i njene podgrupe ciklične. Uopšteno, podgrupe cikličnih grupa su ciklične..

Koseti i Lagranžova teorema

Glavni članak: Lagranžova teorema (teorija grupa)

Ako je data podgrupa $H$ i neko $a$ iz $G$, definišemo levi koset $aH=\{ah:h\in H\}$. Kako je $a$ inverzibilno, preslikavanje $\varphi :H\rightarrow aH$ definisano kao $\varphi (h)=ah$ je bijekcija. Štaviše, svaki element iz $G$ se nalazi u tačno jednom levom kosetu od $H$; levi koseti su klase ekvivalencije u odnosu na relaciju ekvivalencije $a_{1}\sim a_{2}$ ako i samo ako je $a_{1}^{-1}a_{2}$ u $H$. Broj levih koseta $H$ se naziva indeksom $H$ u $G$, i označava se sa $[G:H]$.

Lagranžova teorema glasi da za konačnu grupu $G$ i njenu podgrupu $H$,

$$[G:H]={o(G) \over o(H)}$$

gde ${\textrm {red}}(G)$ i ${\textrm {red}}(H)$ označavaju redove $G$ i $H$. Red svake podgrupe $G$ (i red svakog elementa $G$) obavezno deli ${\textrm {red}}(G)$.

Desni koseti su definisani analogno: $Ha=\{ha:h\in H\}$. Oni su takođe klase ekvivalencije za odgovarajuću relaciju ekvivalencije, i njihov red je jednak $[G:H]$.

Ako je $aH=Ha$ za svako $a$ iz $G$, tada se kaže da je $H$ normalna podgrupa. Svaka podgrupa indeksa 2 je normalna: levi i desni koseti su jednostavno podgrupa i njen komplement.

Vidi još

• Grupa (matematika)
• Lagranžova teorema