Циклична група

Из Википедије, слободне енциклопедије

У теорији група, циклична група или моногена група је група која може бити генерисана само од једног свог елемента, у смислу да је да група има елемент g ("генератор" групе) такав да, када се запише мултипликативно, сваки елемент групе је степен од g (умножак од g у случају адитивне нотације).

Дефиниција[уреди]

Група G се назива цикличном ако постоји елемент g у G, такав да G = <g> = { gn за сваки цео број n }. Како је свака група генерисана елементом групе подгрупа те групе, показивањем да је једина подгрупа групе G која садржи g сама G, показује се да је G циклична.

На пример, ако је G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 }, онда је G циклична, и G је у суштини иста као (до на изоморфизам) група { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } са сабирањем по модулу 6. То јест 1 + 2 mod 6 = 3, 2 + 5 mod 6 = 1, и тако даље. Може се користити изоморфизам φ дефинисан као φ(g) = 1.

За сваки позитиван цео број n постоји тачно једна циклична група (до на изоморфизам) чији ред је n, и постоји тачно једна бесконачна циклична група (цели бројеви у односу на сабирање). Стога су цикличне групе најједноставније групе.

Име 'циклична' може да доведе у забуну: могуће је генерисати бесконачно много елемената и не направити ниједан циклус; то јест, свако g^n може бити различито. Група генерисана на овај начин је бесконачна циклична група, која је изоморфна адитивној групи целих бројева Z.

Групе се обично означавају адитивно на следећи начин: Z/n или Z/nZ. Мултипликативно, означавају се као Cn. (На пример, g3g4 = g2 у C5, где је 3 + 4 = 2 (mod 5) у Z/5.)

Све коначне цикличне групе су периодичне групе.

Својства[уреди]

Свака циклична група је изоморфна групи { 0, 1, 2, ..., n − 1 } у односу на сабирање по модулу n, или Z, адитивној групи свих целих бројева. Због тога су циклична групе најједноставније групе за изучавање и имају бројна згодна својства. дата је циклична група G реда n (n може бити бесконачно). За свако g из G,

  • G је Абелова група; то јест, операција групе је комутативна: gh = hg. Ово важи, јер је g + h mod n = h + g mod n.
  • Ако је n бесконачно, тада g^n = e јер n mod n = 0.
  • Ако је n = ∞, тада постоје тачно два генератора: 1 и −1 за Z, а сви остали се пресликавају у њих под изоморфизмом у другим цикличним групама.
  • Ако је n коначно, тада постоји тачно φ(n) генератора, где је φ() Ојлерова фи функција
  • Свака подгрупа од G је циклична. Заиста, свака коначна подгрупа од G је група { 0, 1, 2, 3, ... m − 1} у односу на сабирање по модулу m. А свака бесконачна подгрупа од G је mZ' за неко m, које је бијективно (изоморфно) са Z'.
  • Cn је изоморфно са Z/n, јер Z/n = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ} \cong { 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1} у односу на сабирање по модулу n.

Генератори 'Z'/n су класе остатака целих бројева који су узајамно прости са n; број тих генератора је познат као φ(n), где је φ Ојлерова фи функција.

Општије, ако d дели n, тада је број елемената у 'Z'/n, који су реда d једнак φ(d). Ред класе остатка од m је n / НЗД(n,m).

Ако је p прост број, тада је једина група (до на изоморфизам) са p елемената циклична група Cp или Z/p.

Директан производ две цикличне групе 'Z/n и 'Z/m је цикличан ако и само ако су n и m узајамно прости. Стога, на пример Z/12 је директан производ Z/3 и Z/4, али није директан производ Z/6 и Z/2.

Дефиниција имплицира да цикличне групе имају врло једноставну презентацију групе xn >.

Структурна теорема за коначне Абелове групе каже да је свака коначно генерисана Абелова група директан производ коначно много цикличних група.

'Z/n и Z су такође комутативни прстени. Ако је p прост, онда је 'Z/p коначно поље, што се такође означава са Fp или GF(p). Свако поље са p елемената је изоморфно овом пољу.

Јединице прстена 'Z'/n су бројеви узајамно прости са n. Они граде групу у односу на множење по модулу n са φ(n) елемената. То се записује као (Z/n)×. на пример, добијамо (Z/n)× = {1, 5} када је n = 6, и (Z/n)× = {1, 3, 5, 7} када је n = 8.

Познато је да је (Z/n)× циклична ако и само ако је n једнако 2 или 4 или pk или 2 pk за прост број већи од два p и k ≥ 1, у ком случају се сваки генератор Zn× назива примитивним кореном по модулу n. Стога, (Z/n)× је циклично за n = 6, али не за n = 8, када је изоморфно Клајновој четворној групи.

Група (Z/p)× је циклична са p − 1 елемената за свако просто p, што се записује и као (Z/p)* јер се састоји од не-нула елемената. Општије, свака коначна подгрупа мултипликативне групе било ког поља је циклична.

Примери[уреди]

У две и три димензије симетрија групе за n-пута ротациону симетрију је Cn, апстрактног типа групе Zn. У три димензије постоје и друге симетрије групе које су алгебарски исте.

Треба имати у виду да група S1 свих ротација круга (кружна група) није циклична, јер није ни пребројива.

nти Де Моавров број гради цикличну групу реда n у односу на множење, на пример, 0 = z^3 - 1 = (z - s^0)(z - s^1)(z - s^2) где је s^i = e^{2 \pi i /3} и група \{ s^0, s^1, s^2 \} у односу на множење је циклична.

Представљање[уреди]

Циклични графови коначних цикличних група су сви n-тострани полигони. Црна тачка у цикличном графу представља неутрал, а остали чворови су елементи групе. Цикл се састоји од узастопних степена било ког елемента повезаног са неутралом.

GroupDiagramMiniC1.png
GroupDiagramMiniC2.png
GroupDiagramMiniC3.png
GroupDiagramMiniC4.png
GroupDiagramMiniC5.png
GroupDiagramMiniC6.png
GroupDiagramMiniC7.png
GroupDiagramMiniC8.png
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Види још[уреди]