Poluga

Poluga prvog reda. Pri ravnoteži, ${F_{1}D_{1}}={F_{2}D_{2}}$.

Klackalica funkcioniše na principu poluge.

Poluga je čvrsti objekat koji se koristi za pojačanje sile primenjene na drugi objekt, uz upotrebu oslonca. Poluga je jedna od 6 jednostavnih mašina, kojom se mala sila koja deluje na dužem putu, pretvara u veliku silu na kraćem putu.

Poluge se koriste kad je potrebno imati veliku silu na jednom kraćem kraju poluge (na primer - za podizanje teškog objekta), a jedino mala sila je na raspolaganju na drugom dužem kraju poluge.

Treba napomenuti da se s tim ne postiže „čarobno“ povećanje raspoložive energije, jer proizvod (sila*put) ostaje isti.

Prvo ispitivanje svojstava poluge se pripisuje Arhimedu, koji je po saznanju svoga otkrića, po legendi rekao: „Dajte mi tačku oslonca, i pomeriću Zemlju“.

Poluga se nalazi u ravnoteži kada je razlika u momentu sila koje djeluju na nju jednaka nuli. To znači da je ${F_{1}D_{1}}={F_{2}D_{2}}$.

Istorija

Najraniji dokazi o mehanizmu poluge datiraju iz drevnog Bliskog istoka od oko 5000 godina pre nove ere, kada je prvi put korišćen u jednostavnoj balansnoj vagi. U starom Egiptu, oko 4400. godine pre nove ere, nožna pedala je korišćena za najraniji razboj sa horizontalnim okvirom. U Mesopotamiji (moderni Irak) oko 3000. godine pre nove ere, izumljen je šaduf, uređaj nalik kranu koji koristi mehanizam poluge. U tehnologiji starog Egipta, radnici su koristili polugu za pomeranje i podizanje obeliska težine više od 100 tona. To je vidljivo iz udubljenja u velikim blokovima i otvora za rukovanje koji se nisu mogli koristiti ni u jednu drugu svrhu osim za poluge.

Najraniji preostali spisi o polugama datiraju iz 3. veka pre nove ere i dao ih je grčki matematičar Arhimed, koji je čuveno rekao „Daj mi polugu dovoljno dugu i tačku oslonca na koju da je postavim, i pomeriću svet“.

Sila i poluge

Poluga u ravnoteži

Poluga je greda povezana sa zemljom šarkom, ili stožerom, koja se naziva uporište. Idealna poluga ne rasipa i ne skladišti energiju, što znači da nema trenja u uporištu ili savijanja u gredi. U ovom slučaju, snaga u poluzi je jednaka izlaznoj snazi, a odnos izlazne i ulazne sile je dat odnosom rastojanja od tačke oslonca do tačaka primene ovih sila. Ovo je poznato kao zakon poluge.

Mehanička prednost poluge može se odrediti uzimanjem u obzir ravnoteže momenata ili obrtnog momenta, T, oko tačke oslonca. Ako je pređeno rastojanje veće, onda se izlazna sila smanjuje.

$${\begin{aligned}T_{1}&=F_{1}a,\quad \\T_{2}&=F_{2}b\!\end{aligned}}$$

gde je F₁ ulazna sila na polugu, a F₂ izlazna sila. Rastojanja a i b su okomite udaljenosti između sila i tačke oslonca.

Pošto impulsi obrtnog momenta moraju biti izbalansirani, $T_{1}=T_{2}\!$. So, $F_{1}a=F_{2}b\!$.

Mehanička prednost poluge je odnos izlazne i ulazne sile.

$$MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {a}{b}}.\!$$

Ovaj odnos pokazuje da se mehanička prednost može izračunati iz odnosa rastojanja od tačke oslonca do mesta gde se ulazne i izlazne sile primenjuju na polugu, uz pretpostavku da nema gubitaka usled trenja, fleksibilnosti ili habanja. Ovo ostaje tačno iako se „horizontalno” rastojanje (upravno na privlačenje gravitacije) i a i b se menjaju (smanjuju) kako se poluga menja u bilo koji položaj dalje od horizontale.

Klasifikacija poluga

Tri klase poluga

Tri klasifikacije poluga sa primerima ljudskog tela

Poluge se klasifikuju prema relativnim pozicijama uporišta, napora i otpora (ili opterećenja). Uobičajeno je da se ulazna sila zove napor, a izlazna sila opterećenje ili otpor. Ovo omogućava identifikaciju tri klase poluga prema relativnim lokacijama uporišta, otpora i napora:

• Klasa I – Uporište između napora i otpora: Napor se primenjuje na jednoj strani uporišta, a otpor (ili opterećenje) na drugoj strani, na primer, klackalica, pajser ili makaze, balansna vaga, keser. Mehanička prednost može biti veća od, manja ili jednaka 1.
• Klasa II – Otpor (ili opterećenje) između napora i tačke oslonca: Napor se primenjuje na jednoj strani otpora, a tačka oslonca se nalazi na drugoj strani, npr. u kolicima, krckalici za orašaste plodove, otvaraču za flaše ili papučici kočnice automobila. Ruka opterećenja je manja od ruke napora, a mehanička prednost je uvek veća od 1. Takođe se naziva poluga za množenje sile.
• Klasa III – Napor između uporišta i otpora: Otpor (ili opterećenje) je na jednoj strani napora, a uporište se nalazi na drugoj strani, na primer, pinceta, čekić, klešta, štap za pecanje, ili mandibula ljudske lobanje. Sekcija napora je manja od sekcije opterećenje. Mehanička prednost je uvek manja od 1. Naziva se i polugom za ummnoženje brzine.

Ovi slučajevi su opisani mnemoničkim fre 123 gde je f uporište između r i e za polugu 1. klase, r otpor je između f i e za polugu 2. klase, a napor e između f i r za polugu 3. klase klasa poluga.

Zakon poluge

Poluga je pokretna šipka koja se okreće na osloncu pričvršćenom za fiksnu tačku. Poluga deluje primenom sila na različitim rastojanjima od tačke oslonca, odnosno osovine.

Kako se poluga rotira oko tačke oslonca, tačke koje su dalje od ove tačke pomeraju se brže od tačaka bliže osovini. Prema tome, sila primenjena na tačku koja je udaljenija od osovine mora biti manja od sile koja se nalazi u tački koja je bliža, jer je snaga proizvod sile i brzine.

Ako su a i b rastojanja od uporišta do tačaka A i B i sila F_A primenjena na A je ulaz, a sila F_B primenjena na B je izlaz, odnos brzina tačaka A i B je dat sa a/b, tako da imamo odnos izlazne sile prema ulaznoj sili, ili mehaničku prednost, datu je sa:

$$MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.$$

Ovo je zakon poluge, koji je Arhimed dokazao koristeći geometrijsko rasuđivanje. Pokazuje da ako je rastojanje a od tačke oslonca do mesta gde se primenjuje ulazna sila (tačka A) veće od rastojanja b od tačke oslonca do mesta gde se primenjuje izlazna sila (tačka B), onda poluga pojačava ulaznu silu. S druge strane, ako je rastojanje a od tačke oslonca do ulazne sile manje od rastojanja b od tačke oslonca do izlazne sile, tada poluga smanjuje ulaznu silu.

Upotreba brzine u statičkoj analizi poluge je primena principa virtuelnog rada.

Virtuelni rad i zakon poluge

Poluga je modelovana kao kruta šipka povezana sa uzemljenim okvirom pomoću zglobnog zgloba koji se naziva uporište. Poluga se pokreće primenom ulazne sile F_Au tački A koja se nalazi pored koordinatnog vektora r_A na šipki. Poluga tada vrši izlaznu silu F_B u tački B koja se nalazi na r_B. Rotacija poluge oko uporišta P je definisana uglom rotacije θ u radijanima.

Arhimedova poluga, gravura iz Mechanics Magazine objavljena u Londonu 1824

Neka je koordinatni vektor tačke P koja definiše uporište r_P i uvedite dužine

$$a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,$$

koje su rastojanja od tačke oslonca do ulazne tačke A i do izlazne tačke B, respektivno.

Sada uvedite jedinične vektore e_A i e_B od tačke oslonca do tačke A i B, dakle

$$\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.$$

Brzina tačaka A i B dobija se kao

$$\mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },$$

gde su e_A^⊥ i e_B^⊥ jedinični vektori okomiti na e_A i e_B, respektivno.

Ugao θ je generalizovana koordinata koja definiše konfiguraciju poluge, a generalizovana sila povezana sa ovom koordinatom je data sa

$$F_{\theta }=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp })=aF_{A}-bF_{B},$$

gde su F_A i F_B komponente sila koje su upravne na radijalne segmente PA i PB. Princip virtuelnog rada kaže da je u ravnoteži generalizovana sila nula, tj

$$F_{\theta }=aF_{A}-bF_{B}=0.\,\!$$

Jednostavna poluga, oslonac i vertikalni stubovi

Tako se dobija odnos izlazne sile F_B i ulazne sile F_A kao

$$MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}},$$

što je mehanička prednost poluge.

Ova jednačina pokazuje da ako je rastojanje a od tačke oslonca do tačke A gde se primenjuje ulazna sila veće od rastojanja b od tačke uporišta do tačke B gde se primenjuje izlazna sila, tada poluga pojačava ulaznu silu. Ako je tačno suprotno da je rastojanje od tačke oslonca do ulazne tačke A manje nego od tačke oslonca do izlazne tačke B, tada poluga smanjuje veličinu ulazne sile.

Primeri poluge

• klackalica
• katapult
• poluga za odvaljivanje („pajser“)
• veslo
• makaze
• krckalica za orahe

Vidi još

• Nagnuta ravan
• Čekrk
• Zavrtanj (šraf)
• Klin
• Točak i osovina

Literatura

• J.P. Den Hartog, Strength of Materials, Dover, New York, 1949.
• F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, Mechanics of Materials, McGraw-Hill, New York, 1981.
• S.P. Timoshenko, History of Strength of Materials, Dover, New York, 1953.
• J.E. Gordon, The New Science of Strong Materials, Princeton, 1984.
• H. Petroski, To Engineer Is Human, St. Martins, 1985.
• T.A. McMahon and J.T. Bonner, On Size and Life, Scientific American Library, W.H. Freeman, 1983.
• M. F. Ashby, Materials Selection in Design, Pergamon, 1992.
• A.H. Cottrell, Mechanical Properties of Matter, Wiley, New York, 1964.
• S.A. Wainwright, W.D. Biggs, J.D. Organisms, Edward Arnold, 1976.
• S. Vogel, Comparative Biomechanics, Princeton, 2003.
• J. Howard, Mechanics of Motor Proteins and the Cytoskeleton, Sinauer Associates, 2001.
• J.L. Meriam, L.G. Kraige. Engineering Mechanics Volume 2: Dynamics, John Wiley & Sons., New York, 1986.
• J.L. Meriam, L.G. Kraige. Engineering Mechanics Volume 1: Statics, John Wiley & Sons., New York, 1986.
• Pao, Yih-Hsing (1998-02-01). „Applied Mechanics in Science and Engineering”. Applied Mechanics Reviews. 51 (2): 141—153. Bibcode:1998ApMRv..51..141P. ISSN 0003-6900. doi:10.1115/1.3098993. 
• Drabble, George E. (1971-01-01), Drabble, George E., ur., „CHAPTER ONE - INTRODUCTION”, Applied Mechanics (na jeziku: engleski), Academic Press, str. 1—8, ISBN 978-0-491-00208-0, Pristupljeno 2021-11-06 
• Eberhard, Peter; Juhasz, Stephen, ur. (2016). IUTAM (na jeziku: engleski). ISBN 978-3-319-31061-9. doi:10.1007/978-3-319-31063-3. 
• Abdel Wahab, Magd (mart 2020). „Editorial”. Applied Mechanics (na jeziku: engleski). 1 (1): 1—2. doi:10.3390/applmech1010001 . CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Kurrer, Karl‐Eugen (2008-04-23). The History of the Theory of Structures: From Arch Analysis to Computational Mechanics (na jeziku: engleski) (1 izd.). Wiley. ISBN 978-3-433-01838-5. doi:10.1002/9783433600160. 
• „Mechanics & Materials – Mechanical Engineering”. me.engin.umich.edu. Pristupljeno 2021-11-06. 
• „Applied Mechanics and Biomedical Engineering”. www.brunel.ac.uk (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2021-11-06. 
• Kurrer, Karl‐Eugen (2008-04-23). The History of the Theory of Structures (na jeziku: engleski). Wiley. ISBN 978-3-433-01838-5. doi:10.1002/9783433600160. 
• Rankine, William John Macquorn (1858). A manual of applied mechanics. University of California Libraries. London : R. Griffin. 

Spoljašnje veze

• Poluga na Dirakdelta enciklopediji
• Jednostavna poluga na Volfram sajtu
• Poluge - jednostavne mašine