Skalarni proizvod vektora

Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. To je poseban slučaj unutrašnjeg množenja prostora. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledeći:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$

$(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$

$u\cdot v=v\cdot u$

$u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0$

Pri čemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora

Skalarni proizvod vektora ${\vec {x}}$ i ${\vec {y}}$ se definiše na sledeći način:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}$

Pritom su $|{\vec {x}}|$ i $|{\vec {y}}|$ intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ i ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})$

Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:

${\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$

Dokaz

Formula :${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)$ se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je $\gamma$, ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Pošto je ${\vec {c}}$ jednak ${\vec {b}}-{\vec {a}}$, sledi:

$|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Odakle se nalazi:

$\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

${\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Odatle se dobija konačna formula:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.$

Ortogonalni vektori

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori ${\vec {x}}$ i ${\vec {y}}$ uzajamno normalni dobija se:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$.

Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

Osobine

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

• komutativnost

${{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$

• distributivan je u odnosu na sabiranje

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

• u opštem slučaju nije asocijativan
• za njega važi sledeće:

$(\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.$

Za specijalan slučaj kada je ${\vec {x}}={\vec {y}}$ jednakost prelazi u: ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}$

Na osnovu toga se zaključuje:

$|{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.$

Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

Primena u fizici

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj. Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

$A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha$

Geometrijska interpretacija

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).$

Trostruki proizvod

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Projekcija vektora na vektor

Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor tj.

• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}$ skalarna projekcija vektora ${\overrightarrow {a}}$ na vektor ${\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}$ skalarna projekcija vektora ${\overrightarrow {b}}$ na vektor ${\overrightarrow {a}}$
• $({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}$ vektorska projekcija vektora ${\overrightarrow {a}}$ na vektor ${\overrightarrow {b}}$
• $({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}$ vektorska projekcija vektora ${\overrightarrow {b}}$ na vektor ${\overrightarrow {a}}$

Posledice skalarnog množenja

• ${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}$
• ${\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}$ ili je bar jedan od vektora ${\overrightarrow {0}}$
• $cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}$ ($0<\omega <\pi$)

Vidi još

• Vektor
• Skalar
• Vektorski proizvod vektora
• Mešoviti proizvod vektora

Literatura

• A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Prevod: Richard Silverman. Dover. str. 14. 
• M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd izd.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
• Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th izd.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
• Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008. godina. Beograd
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd izd.), Boston: Allyn and Bacon 
• Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (na jeziku: latinski). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. Pristupljeno 2015-06-24. 
• Lipkovski, Aleksandar (2007). Linearna algebra i analitička geometrija. Beograd: Zavod za udžbenike. ISBN 978-86-17-14540-6. COBISS.SR 139743756. 
• Milošević, Ivanka. Vektorski prostori i elementi vektorske analize (PDF). Beograd: Fizički fakultet Univerziteta u Beogradu. Pristupljeno 2. 12. 2010. 
• Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers (na jeziku: (jezik: engleski)). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5. Pristupljeno 14. 12. 2010. CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Adnađević, Dušan (2008). Matematička analiza I (8. dopunjeno izd.). Beograd: Matematički fakultet. str. 5. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068. 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 
• Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF), Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, str. 31—33, MR 763890 
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd izd.), str. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2 
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8 
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3 
• Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (na jeziku: nemački) (9th izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld. 
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Linearna algebra: Uvod u vektore, video na Kan akademiji (jezik: engleski)
• Vektorski prostor na Wolfram MathWorld (jezik: engleski)
• Vektorski prostori, beleške za predavanja, Univerzitet u Edinburgu (jezik: engleski)
• Uvod u vektorske prostore, iz serije predavanja Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras. (jezik: engleski)