Дистрибутивност

С Википедије, слободне енциклопедије

Дистрибутивност је алгебарска особина понашања оператора сабирања и множења над алгебарском структуром . Конкретно када се производ два елемента скупа K може представити ако збир производа једног од њих са још два елемента који у збиру дају другог, каже се да закон дистрибуције важи за дату алгебарску структуру. Множење може бити лево и десно те отуда два различита услова:

(дистрибутивност слева)
(дистрибутивност здесна)

Ако су задовољени само први или само други услов, каже се да се „лево односно десно множење лепо понаша према сабирању“. Уколико су оба испуњена, каже се да се „операција множења лепо понаша према сабирању“ тј. да је дистрибутивна.

Дефиниција[уреди | уреди извор]

За дати скуп и два бинарна оператора и on

операција је лево дистрибутивна преко (или у односу на) ако је дат било који елемент из

операција је десно дистрибутивна преко ако је дат било који елемент из

и операција је дистрибутивна преко ако је лево- и десно-дистрибутивна.[1]

Када је комутативно, три горња услова су логички еквивалентна.

Значење[уреди | уреди извор]

Оператори који се користе за примере у овом одељку су они уобичајеног сабирања и множења

Ако операција означена са није комутативна, постоји разлика између леве дистрибутивности и десне дистрибутивности:

У оба случаја, дистрибутивно својство се може речима описати као:

Да би се збир (или разлика) помножио са фактором, сваки сабирак (или умањеник и умањилац) се множи са овим фактором и добијени производи се додају (или одузимају).

Ако је операција ван заграда (у овом случају множење) комутативна, онда лева дистрибутивност имплицира десну дистрибутивност и обрнуто, и говори се једноставно о дистрибутивности.

Један пример операције која је „само“ десно-дистрибутивна је дељење, које није комутативно:

У овом случају, лева дистрибуција се не примењује:

Дистрибутивни закони су међу аксиомима за прстенове (попут прстена целих бројева) и поља (попут поља рационалних бројева). Овде је множење дистрибутивно над сабирањем, али сабирање није дистрибутивно над множењем. Примери структура са две операције при чему је свака дистрибутивна над другом су Булове алгебре[2] као што је алгебра скупова или алгебра преклапања.[3][4]

Примери[уреди | уреди извор]

Реални бројеви[уреди | уреди извор]

У следећим примерима је илустрована употреба дистрибутивног закона на скупу реалних бројева . Када се множење помиње у елементарној математици, обично се мисли на ову врсту множења. Са тачке гледишта алгебре, реални бројеви чине поље, које обезбеђује валидност дистрибутивног закона.

Први пример (умно и писмено множење)
Током менталне аритметике, дистрибутивност се често користи несвесно:
Дакле, да би се ментално израчунало , прво се помножи и и додају се интермедијарни резултати. Писано множење се такође заснива на дистрибутивном закону.
Други пример (са променљивама)
Трећи пример (са два збира)
Овде је дистрибутивни закон примењен два пута, и није битно која се заграда прва помножи.
Четврти пример
Овде се дистрибутивни закон примењује обрнуто у односу на претходне примере. Размотрите
Пошто се фактор јавља у свим сабирцима, може се раздвојити. То јест, због дистрибутивног закона се добија

Матрице[уреди | уреди извор]

За матрично множење важи дистрибутивни закон. Прецизније,

за све матрице и матрице као и

за све матрице и матрице Пошто комутативно својство не важи за множење матрице, други закон не следи из првог закона. У овом случају, то су два различита закона.

Други примери[уреди | уреди извор]

Пропозициона логика[уреди | уреди извор]

Правило замене[уреди | уреди извор]

У стандардној истинито-функционалној пропозиционалној логици, дистрибуција[8][9] у логичким доказима користи два важећа правила замене[10][11] да прошири појединачна појављивања одређених логичких конекција, унутар неке формуле,[12] у засебне примене те конекције преко подформула дате формуле. Правила су

где је „”, такође написано је металогички симбол који представља „може бити замењен у доказу са” или „логички је еквивалентно”.

Истиносно функционални спојеви[уреди | уреди извор]

Дистрибутивност је својство неких логичких спојева истинито-функционалне пропозиционе логике. Следеће логичке еквиваленције показују да је дистрибутивност својство одређених везива. Следе истинито-функционалне таутологије.

Двострука дистрибуција

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Distributivity of Binary Operations from Mathonline
  2. ^ Davey & Priestley 1990, стр. 109, 131, 144.
  3. ^ Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets".
  4. ^ Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".
  5. ^ Kim Steward (2011) Multiplying Polynomials from Virtual Math Lab at West Texas A&M University
  6. ^ Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Structure of algebras. American Mathematical Society Colloquium Publ. 24 (Corrected reprint of the revised 1961 изд.). New York: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901. 
  7. ^ Albert, A. Adrian (1948a). „Power-associative rings”. Transactions of the American Mathematical Society. 64: 552—593. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990399. MR 0027750. Zbl 0033.15402. doi:10.2307/1990399Слободан приступ. 
  8. ^ Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company
  9. ^ Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press
  10. ^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
  11. ^ Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th editionНеопходна слободна регистрација. Wadsworth Publishing. 
  12. ^ Cogwheel. „What is the difference between logical and conditional /operator/”. Stack Overflow. Приступљено 9. 4. 2015. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]