Скаларни производ вектора

Из Википедије, слободне енциклопедије

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:

Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

и

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

Доказ[уреди]

Формула : се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

Пошто је једнак , следи:

Одакле се налази:

Одатле се добија коначна формула:

Ортогонални вектори[уреди]

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори и узајамно нормални добија се:

.

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине[уреди]

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

Коришћење за израчунавање интензитета вектора[уреди]

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.

Пошто је:

За специјалан случај када је једнакост прелази у:

На основу тога се закључује:

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици[уреди]

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

Геометријска интерпретација[уреди]

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.

Литература[уреди]

  • Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд

Види још[уреди]