Скаларни производ вектора

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:

Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

и

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

Доказ[уреди]

Формула : се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

Пошто је једнак , следи:

Одакле се налази:

Одатле се добија коначна формула:

Ортогонални вектори[уреди]

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори и узајамно нормални добија се:

.

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине[уреди]

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

Коришћење за израчунавање интензитета вектора[уреди]

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.[1]

Пошто је:

За специјалан случај када је једнакост прелази у:

На основу тога се закључује:

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици[уреди]

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

Геометријска интерпретација[уреди]

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.[2][3]

Троструки производ[уреди]

Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на вектор[уреди]

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор[4] тј.

  • скаларна пројекција вектора na vektor
  • скаларна пројекција вектора na vektor
  • векторска пројекција вектора на вектор
  • векторска пројекција вектора на вектор

Последице скаларног множења[уреди]

  • [5]
  • ili je bar jedan od vektora
  • ()

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  2. ^ M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  3. ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
  4. ^ projekcija vektora na vektor
  5. ^ skalami proizvod a b= 0

Литература[уреди]

  • A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
  • M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  • Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  • Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд

Спољашње везе[уреди]