Julijus Vilhelm Rihard Dedekind

Rihard Dedekind
Julijus Vilhelm Rihard Dedekind
Lični podaci
Datum rođenja	(1831-10-06)6. oktobar 1831.
Mesto rođenja	Braunšvajg, Nemačka
Datum smrti	12. februar 1916.(1916-02-12) (84 god.)
Mesto smrti	Braunšvajg, Nemačka
Obrazovanje	Univerzitet u Getingenu
Naučni rad
Polje	teorija brojeva matematička indukcija
Poznat po	Dedekindovom preseku

Julijus Vilhelm Rihard Dedekind (nem. Julius Wilhelm Richard Dedekind; Braunšvajg, 6. oktobar 1831 — Braunšvajg, 12. februar 1916) bio je nemački matematičar.

Dedekind je u svom delu Was sind und was sollen dir Zahlen? (Priroda i značenje brojeva, 1888) ponudio aksiomatski pristup prirodnim brojevima. Kasnije, definisao je iracionalne pomoću Dedekindovog preseka.

Poštanska marka sa likom Dedekinda izdata u NDR.

Život

Dedekindov otac je bio Julijus Levin Ulrih Dedekind, administrator Kolegijuma Karolinum u Braunšvajgu. Njegova majka je bila Karolina Henriet Dedekind (rođena Emperijus), ćerka profesora na Kolegijumu. Ričard Dedekind je imao troje starije braće i sestara. Kao odrasla osoba, nikada nije koristio imena Julijus Vilhelm. Rođen je u Braunšvajgu (na engleskom se često naziva „Bransvik”), gde je živeo veći deo svog života i umro.

Prvi put je pohađao Kolegijum Karolinum 1848. pre nego što je prešao na Univerzitet u Getingenu 1850. Tamo je Dedekindu predavao teoriju brojeva profesor Moric Stern. Gaus je još uvek predavao, iako uglavnom na osnovnom nivou, a Dedekind je postao njegov poslednji učenik. Dedekind je doktorirao 1852. godine, sa tezom pod nazivom Über die Theorie der Eulerschen Integrale („O teoriji Ojlerovih integrala“). Ova teza nije pokazala talenat koji je evidentan u Dedekindovim kasnijim publikacijama.

U to vreme, Univerzitet u Berlinu, a ne Getingen, bio je glavna institucija za matematička istraživanja u Nemačkoj. Tako je Dedekind otišao u Berlin na dve godine studija, gde su on i Bernhard Riman bili savremenici; obojica su dobili habilitaciju 1854. Dedekind se vratio u Getingen da predaje kao privatni docent, držeći kurseve o verovatnoći i geometriji. Jedno vreme je učio kod Petera Gustava Ležen Dirihlea i postali su dobri prijatelji. Zbog delimičnih slabosti u svom matematičkom znanju, proučavao je eliptičke i abelian varietyabelove funkcije. Ipak, on je takođe bio prvi u Getingenu koji je držao predavanja o Galoaovoj teoriji. Otprilike u to vreme, postao je jedan od prvih ljudi koji su shvatili važnost pojma grupa za algebru i aritmetiku.

Godine 1858. počeo je da predaje na Politehničkoj školi u Cirihu (danas ETH Cirih). Kada je Kolegijum Karolinum nadograđen u Technische Hochschule (Tehnološki institut) 1862. godine, Dedekind se vratio u rodni Braunšvajg, gde je proveo ostatak života, predajući na Institutu. Penzionisan je 1894, ali je povremeno predavao i nastavio da objavljuje. Nikada se nije ženio, već je živeo sa svojom sestrom Julijom.

Dedekind je biran u akademije u Berlinu (1880) i Rimu i u Francusku akademiju nauka (1900). Dobio je počasne doktorate na Univerzitetima u Oslu, Cirihu i Bransviku.

Rad

Dedekind, pre 1886

Dok je po prvi put predavao račun na Politehničkoj školi, Dedekind je razvio pojam koji je sada poznat kao Dedekindov presek (nemački: Schnitt), sada standardna definicija realnih brojeva. Ideja reza je da iracionalni broj deli racionalne brojeve na dve klase (skupove), pri čemu su svi brojevi jedne klase (veće) striktno veći od svih brojeva druge (manje) klase. Na primer, kvadratni koren od 2 definiše sve nenegativne brojeve čiji su kvadrati manji od 2 i negativne brojeve u nižu klasu, a pozitivne brojeve čiji su kvadrati veći od 2 u veću klasu. Svaka lokacija na kontinuumu brojevne prave sadrži ili racionalan ili iracionalan broj. Dakle, nema praznih lokacija, praznina ili diskontinuiteta. Dedekind je objavio svoja razmišljanja o iracionalnim brojevima i Dedekindovim rezovima u svom pamfletu „Stetigkeit und irrationale Zahlen“ („Kontinuitet i iracionalni brojevi“); u modernoj terminologiji, Vollständigkeit, potpunost.

Dedekind je definisao dva skupa kao „slična” kada postoji jedan-na-jedan korespondencija između njih. On se pozvao na sličnost da bi dao prvu preciznu definiciju beskonačnog skupa: skup je beskonačan kada je „sličan odgovarajućem delu sebe“, u modernoj terminologiji, ekvipotentan je jednom od svojih pravih podskupova. Tako se skup N prirodnih brojeva može pokazati kao sličan podskupu N čiji su članovi kvadrati svakog člana od N, (N → N²):

N    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ...
             ↓           
N2   1  4  9  16 25 36 49 64 81 100 ...

Dedekindov rad u ovoj oblasti anticipirao je Georga Kantora, koji se obično smatra osnivačem teorije skupova. Slično tome, njegov doprinos osnovama matematike anticipirao je kasnije radove glavnih zagovornika logicizma, kao što su Gotlob Frege i Bertrand Rusel.

Dedekind je uređivao sabrana dela Ležena Dirihlea, Gausa i Rimana. Dedekindovo proučavanje dela Ležena Dirihlea dovelo ga je do njegovog kasnijeg proučavanja algebarskih brojevnih polja i ideala. Godine 1863, objavio je predavanja Ležena Dirihlea o teoriji brojeva kao Vorlesungen über Zahlentheorie („Predavanja o teoriji brojeva“) o kojima je napisano da:

Iako je knjiga sigurno zasnovana na Dirihleovim predavanjima, i iako je sam Dedekind knjigu tokom svog života nazivao Dirihleovom, samu knjigu je u potpunosti napisao Dedekind, uglavnom nakon Dirihleove smrti.

— Edvards, 1983

Izdanja Vorlesungena iz 1879. i 1894. uključivala su dodatke koji uvode pojam ideala, fundamentalnog za teoriju prstenova. (Reč „prsten“, koju je kasnije uveo Hilbert, ne pojavljuje se u Dedekindovom delu.) Dedekind je definisao ideal kao podskup skupa brojeva, sastavljen od algebarskih celih brojeva koji zadovoljavaju polinomske jednačine sa celobrojnim koeficijentima. Koncept je doživeo dalji razvoj u rukama Hilberta i, posebno, Emi Neter. Ideali generalizuju idealne brojeve Ernsta Eduarda Kumera, osmišljene kao deo Kumerovog pokušaja iz 1843. da dokaže Fermaovu poslednju teoremu. (Tako se za Dedekinda može reći da je bio Kumerov najvažniji učenik.) U članku iz 1882. Dedekind i Hajnrih Martin Veber primenili su ideale na Rimanove površine, dajući algebarski dokaz Riman–Rohove teoreme.

Godine 1888, objavio je kratku monografiju pod naslovom Was sind und was sollen die Zahlen? („Šta su brojevi i za šta su dobri?“ Evald 1996: 790), što je uključivalo njegovu definiciju beskonačnog skupa. Takođe je predložio aksiomatsku osnovu za prirodne brojeve, čiji su primitivni pojmovi bili broj jedan i funkcija naslednika. Sledeće godine, Đuzepe Peano je, citirajući Dedekinda, formulisao ekvivalentan, ali jednostavniji skup aksioma, sada standardnih.

Dedekind je dao i druge doprinose algebri. Na primer, oko 1900. godine napisao je prve radove o modularnim rešetkama. Godine 1872, dok je bio na odmoru u Interlakenu, Dedekind je upoznao Georga Kantora. Tako je započeo trajni odnos uzajamnog poštovanja, a Dedekind je postao jedan od prvih matematičara koji se divio Kantorovom radu u oblasti beskonačnih skupova, dokazujući da je vredan saveznik u Kantorovim sporovima sa Leopoldom Kronekerom, koji se filozofski protivio Kantorovim transfinitnim brojevima.

Bibliografija

Osnovna literatura na engleskom:

• 1890. "Letter to Keferstein" in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press: 98–103.
• 1963 (1901). Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover. Contains English translations of Stetigkeit und irrationale Zahlen and Was sind und was sollen die Zahlen?
• 1996. Theory of Algebraic Integers. Stillwell, John, ed. and trans. Cambridge Uni. Press. A translation of Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen.
• Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
  • 1854. "On the introduction of new functions in mathematics," 754–61.
  • 1872. "Continuity and irrational numbers," 765–78. (translation of Stetigkeit...)
  • 1888. What are numbers and what should they be?, 787–832. (translation of Was sind und...)
  • 1872–82, 1899. Correspondence with Cantor, 843–77, 930–40.

Ostnovna literatura na nemačkom:

• Gesammelte mathematische Werke (Complete mathematical works, Vol. 1–3). Retrieved 5 August 2009.

Literatura

• Biermann, Kurt-R (2008). „Dedekind, (Julius Wilhelm) Richard”. Complete Dictionary of Scientific Biography. 4. Detroit: Charles Scribner's Sons. str. 1—5. ISBN 978-0-684-31559-1. 
• Edwards, H. M., 1983, "Dedekind's invention of ideals," Bull. London Math. Soc. 15: 8–17.
• William Everdell (1998). The First Moderns. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-22480-5. 
• Gillies, Douglas A., 1982. Frege, Dedekind, and Peano on the foundations of arithmetic. Assen, Netherlands: Van Gorcum.
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Uni. Press.
• Bourbaki, Nicolas (1972), Commutative Algebra, Addison-Wesley 
• Claborn, Luther (1965), „Dedekind domains and rings of quotients”, Pacific J. Math., 15: 59—64, doi:10.2140/pjm.1965.15.59  
• Claborn, Luther (1966), „Every abelian group is a class group”, Pacific J. Math., 18 (2): 219—222, doi:10.2140/pjm.1966.18.219  
• Clark, Pete L. (2009), „Elliptic Dedekind domains revisited” (PDF), L'Enseignement Mathématique, 55 (3): 213—225, arXiv:math/0612469 , doi:10.4171/lem/55-3-1, Arhivirano iz originala (PDF) 16. 05. 2018. g., Pristupljeno 06. 09. 2022 
• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications. Springer. ISBN 1-85233-667-6. 
• Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991), „II. Dedekind domains”, Algebraic number theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 27, Cambridge University Press, str. 35—101, ISBN 0-521-36664-X, Zbl 0744.11001 
• Gomez-Ramirez, Danny (2015), „Conceptual Blending as a Creative meta-generator of mathematical concepts: Prime Ideals and Dedekind Domains as a blend”, In: T.R. Besold, K.U. Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (eds.) Proceedings of the 4th International Workshop on Computational Creativity, Concept Invention, and General Intelligence (C3GI) PICS, 2 [1]
• Leedham-Green, C.R. (1972), „The class group of Dedekind domains”, Trans. Amer. Math. Soc., 163: 493—500, JSTOR 1995734, doi:10.2307/1995734  
• Milne, J.S. (2008), Algebraic Number Theory (v3.00) 
• Nakano, Noburu (1953), „Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper”, J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A, 16: 425—439 
• Rosen, Michael (1976), „Elliptic curves and Dedekind domains”, Proc. Amer. Math. Soc., 57 (2): 197—201, JSTOR 2041187, doi:10.2307/2041187  
• Steinitz, E. (1912), „Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern”, Math. Ann., 71 (3): 328—354, doi:10.1007/BF01456849 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958), Commutative Algebra, Volume I, D. Van Nostrand Company 

Spoljašnje veze

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Julijus Vilhelm Rihard Dedekind”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Julijus Vilhelm Rihard Dedekind na sajtu MGP (jezik: engleski)
• Biografija Riharda Dedekinda (jezik: nemački)
• Richard Dedekind na sajtu Projekat Gutenberg (jezik: engleski)
• Julijus Vilhelm Rihard Dedekind na sajtu Internet Archive (jezik: engleski)
• Dedekind, Richard, Essays on the Theory of Numbers. Open Court Publishing Company, Chicago, 1901. at the Internet Archive
• Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/.