Конјугован комплексан број

Геометријски приказ комплексног броја z и њему конјугованог z̅ у комплексној равни.

У математици, конјугован комплексан број је број коме је промењен знак имагинарног дела, тј. конјугат броја $z=a+ib$ где $a,b\in \mathbb {R}$ је број ${\bar {z}}=a-ib$. Често се користи и ознака ${\bar {z}}$.

Пример: ${\overline {(3-2i)}}=3+2i$, ${\bar {i}}=-i$ и ${\bar {7}}=7$.

Уколико посматрамо комплексни број као тачку у равни, конјугат комплексног броја био би представљен његовим одразом од x-осе (пошто се на y-оси налази имагинарни део).

Својства

Својства се односе на све комплексне бројеве уколико није другачије речено.

${\overline {(z+w)}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {(zw)}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ ако је w различит од 0

${\bar {z}}=z$ акко је z реалан број

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^{2}=z{\bar {z}}$

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ ако је z различит од 0

Уколико је $p\,$ полином са реалним коефицијентима, и уколико је $p(z)=0\,$, тада је и $p({\bar {z}})=0$, тј. корени полинома са реалним коефицијентима се појављују као конјуговани комплексни бројеви уколико нису на реалној правој.