Имагинарни број

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик , гдје је реалан број различит од нуле и имагинарна јединица за коју важи: .

Имагинарни број може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број облика , код којег је „реалан део“, а је „имагинарни део“. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део“ нула.

Историја[уреди]

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве. Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија“. Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број“ 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).

Геометријска репрезентација[уреди]

Complex conjugate picture.svg

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на -оси, може се нацртати -оса са позитивним правцом на горе. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као "", "" или једноставно као "Im".

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правацу супротном правцу казаљке на сату). Једначина се интрепретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казакље на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да такође решење једначине .

Степеновање имагинарне јединице[уреди]

Степеновање имагинарног броја се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где представља било који број:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

Ово доводи до закључка да је .

Види још[уреди]